Aiuto derivate di funzioni a due variabili

[tony883]

raga qualcuno che mi aiuta a risolvere questa semplice derivata
(x+y)/(x-y)

[codino75]

devi derivare rispetto a x o rispetto a y?

[tony883]

"codino75":devi derivare rispetto a x o rispetto a y?

rispetto a tutto ...prima rispetto a x e poi rispetto a y.sia di primo che di secondo ordine

[_Tipper]

Ad ogni passo, però, devi derivare solo rispetto ad una variabile, in questo caso considera l'altra come se fosse una costante.

[tony883]

si lo so...però non ho capito...come si fa...

[_Tipper]

Se derivi rispetto a $x$ si ha che $y$ è una costante, la derivata prima rispetto a $x$ quindi viene:

$\frac{(x-y)-(x+y)}{(x-y)^2}$

Semplicemente $y$ viene considerata come una costante, le regole di derivazione non cambiano rispetto al caso con una sola variabile.

[tony883]

e per il secondo ordine....

[_Tipper]

Prendi la derivata prima e la riderivi...

Se devi fare la derivata seconda, derivata due volte rispetto a $x$, prendi la derivata prima rispetto a $x$ e la riderivi rispetto a $x$, se devi calcolare la derivata rispetto a $y$ della derivata rispetto a $x$, prendi la derivata prima rispetto a $x$ e la riderivi rispetto a $y$.

[tony883]

ma si fa sempre la derivata di un quoziente??sono un pò confuso

[Mega-X]

guarda prendiamo $z = xy$

$(delz^2)/(delxdely) = 1$

si procede così:

scegli una variabile fra $x$ e $y$ (io scelgo $x$ perché mi sta più simpatica.. (ma se a te sta più simpatica $y$ è la stessa cosa, un teorema che si chiama teorema di schwarz (che è anche facilmente dimostrabile) assicura l'uguaglianza) e derivi rispetto a quella variabile

$(dz)/(dx) = d/dx(xy)=y$

poi derivi $(dz)/(dx)$ rispetto alla variabile che ti è rimasta, in questo caso $y$

$(dz)/(dx)(dz)/(dy) = (delz^2)/(delxdely) = d/(dy)(y) = 1$

capito?

[tony883]

"Mega-X":guarda prendiamo $z = xy$

$(delz^2)/(delxdely) = 1$

si procede così:

scegli una variabile fra $x$ e $y$ (io scelgo $x$ perché mi sta più simpatica.. (ma se a te sta più simpatica $y$ è la stessa cosa, un teorema che si chiama teorema di schwarz (che è anche facilmente dimostrabile) assicura l'uguaglianza) e derivi rispetto a quella variabile

$(dz)/(dx) = d/dx(xy)=y$

poi derivi $(dz)/(dx)$ rispetto alla variabile che ti è rimasta, in questo caso $y$

$(dz)/(dx)(dz)/(dy) = (delz^2)/(delxdely) = d/(dy)(y) = 1$

capito?

ehmmm...no,,,,comunque grazie per l'aiuto

[Mega-X]

ok dimmi cosa non ti è chiaro..

[TomSawyer1]

Scrivendola in una forma meno figa (ma più comprensibile), hai che se $f(x,y)=xy$, allora la derivata di $f(x,y)$ rispetto a $x$, è $f_x(x,y)=y$, perché la $y$ diventa una costante. Viceversa, se derivi rispetto a $y$. Poi, il teorema di Schwarz, ti dice che $f_(xy)(x,y)=f_(yx)(x,y)$.