Aiuto con un problema!!

[Stefystef]

E' dato il triangolo AOB,rettangolo in O, del quale si ha h l'altezza relativa all'ipotenusa. Detta x l'ampiezza dell'angolo OAB, posto tgx/2 = y, esprimere per mezzo di h e t il perimetro del triangolo.

Grazie

Aggiunto 1 ore 9 minuti più tardi:

è tg x/2 = t... non =y...ho sbagliato a digitare!! cmq sì è giusto

Aggiunto 1 giorni più tardi:

Grazie Ciampax...

[BIT5]

che cos'e' t?

Aggiunto 29 secondi più tardi:

e poi immagino sia

[math] \tan \( \frac{x}{2} \) [/math]

giusto?

[ciampax]

Indichiamo con

[math]H[/math]

il piede dell'altezza relativa all'ipotenusa, così che

[math]OH=h[/math]

. Abbiamo poi che

[math]O\hat{B}A=90-x[/math]

per cui

[math]\tan x=\frac{OH}{AH}=\frac{h}{AH}\ \Rightarrow\ AH=\frac{h}{\tan x}=\frac{h\cos x}{\sin x}[/math]

[math]\tan(90-x)=\frac{OH}{BH}=\frac{h}{BH}\ \Rightarrow\ BH=\frac{h}{\tan(90-x)}=\frac{h}{\cot x}=\frac{h\sin x}{\cos x}[/math]

[math]OH=OA\sin x=OB\sin(90-x)[/math]

da cui

[math]OA=\frac{h}{\sin x},\qquad OB=\frac{h}{\cos x}[/math]

e quindi il perimetro

[math]2p=OA+AH+BH+BO=\frac{h}{\sin x}+\frac{h\cos x}{\sin x}+\frac{h\sin x}{\cos x}+\frac{h}{\cos x}=\\
h\cdot\frac{\cos x+\cos^2 x+\sin^2 x+\sin x}{\sin x\cos x}=\frac{h(1+\cos x+\sin x)}{\sin x\cos x}[/math]

Ora, per esprimere tutto in funzione di

[math]\tan(x/2)=t[/math]

ricordiamo le formule parametriche

[math]\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\qquad \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}[/math]

da cui

[math]1+\cos x+\sin x=\frac{1+t^2+1-t^2+2t}{1+t^2}=\frac{2(1+t)}{1+t^2}[/math]

mentre

[math]\frac{1}{\cos x\sin x}=\frac{(1+t^2)^2}{2t(1-t^2)}[/math]

da cui

[math]2p=h\cdot\frac{2(1+t)}{1+t^2}\cdot\frac{(1+t^2)^2}{2t(1-t^2)}=
h\cdot\frac{1+t^2}{t(1-t)}[/math]