Aiuto con geometria analitica 3° scientifico

[lukyluke_93]

salve a tutti!
mi servirebbe una mano con questi 3 quesiti.
mi basta solo che scrivete i calcoli senza magari soffermarsi troppo sulla spiegazione :)
mi fareste un grande piacere anche se magari riuscite a risolverne solo 1 o 2 BUONA FORTUNA E GRAZIE IN ANTICIPO!

1) data la parabola y= 2xquadro + 4x + 6 si determini una retta di coefficente angolare m= 4 che stacchi
su tale parabola un segmento di lunghezza pari a ( radice di 102 )

2) data la circonferenza di equazione xqaudro + yquadro + 2x + 8y -3 = 0 trova l'equazione della parabola che
ha vertice nel centro di tale circonferenza e passa per i punti di intersezione della circonferenza con l'asse delle x.

3)nel fascio di parabole con asse parallelo all'asse y e tangenti alla retta 2x - y - 3 = 0 nel suo punto di ordinata 3,
trova la parabola passante per il punto (1;3).
determina poi le equazioni della retta tangenti alla parabola condotte per il punto P di ascissa 19/8 della direttrice della parabola.
trova poi la circonferenza centrata nel vertice della parabola e tangente agli assi.
trova infine la retta y=k che interseca la parabola nei punti P e Q, la circonferenza nei punti R e S, determini segmenti PQ e RS
tali che 2- PQ= RS

[BIT5]

Tutte le rette di coefficiente (coefficIente, con la i....) angolare m=4 sono della forma

[math] y=4x+q [/math]

Troviamo i generici punti di intersezione tra la parabola e le rette del fascio (improprio)

[math] \{y=4x+q \\ y=2x^2+4x+6 [/math]

Da cui

[math] 4x+q=2x^2+4x+6 \to 2x^2+4x-4x+6-q=0 \to \\ \\ \\ \to 2x^2+6-q=0 [/math]

Risolviamo l'equazione. E' un'equazione incompleta, pertanto possiamo risolverla banalmente portando i termini noti a destra e poi radicando il tutto, quindi

[math] 2x^2=q-6 \to x^2= \frac{q-6}{2} \to x= \pm \sqrt{\frac{q-6}{2}}[/math]

Le soluzioni avranno significato se

[math] \frac{q-6}{2} \ge 0 \to q \ge +6 [/math]

Pertanto i punti di intersezione saranno (sostituendo i valori di x alla retta)

[math] x_1= \sqrt{\frac{q-6}{2}} \to y_1=4\sqrt{\frac{q-6}{2}}+q [/math]

[math] x_2= - \sqrt{\frac{q-6}{2}} \to y_1= - 4\sqrt{\frac{q-6}{2}}+q [/math]

La distanza tra due punti e' data dal teorema di Pitagora:

[math] d= \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} [/math]

E dovra' essere radice di 102, quindi

[math] \sqrt{102} = \sqrt{\(\sqrt{\frac{q-6}{2}} - - \sqrt{\frac{q-6}{2}}\)^2 + \(4\sqrt{\frac{q-6}{2}}+q- \(-4\sqrt{\frac{q-6}{2}} +q \) \)^2} [/math]

da cui

[math] \sqrt{102} = \sqrt{ \(2\sqrt{\frac{q-6}{2}} \)^2+ \(8 \sqrt{\frac{q-6}{2}} \)^2} [/math]

Quindi

[math] \sqrt{102} = \sqrt{4 \frac{q-6}{2} + 64 \frac{q-6}{2}} [/math]

E dunque

[math] \sqrt{102} = \sqrt{68 \frac{q-6}{2}} \to \sqrt{102} = \sqrt{34(q-6)} [/math]

Eleviamo al quadrato e avremo

[math] 102 = 34 (q-6) \to 34q=102+204 \to 34q=306 \to q= 9 [/math]

La retta cercata e' y=4x+9

Aggiunto 1 minuti più tardi:

Dal momento che q e' maggiore di 6 (campo di esistenza) la soluzione e' accettabile.

Quel valore di q esprime le rette del fascio che intersecano la parabola.

Infatti per q=6 la retta e' tangente, per q>6 le rette del fascio sono secanti, mentre per q