Aiuto con equazione logaritimica
Allora ho questa equazione
$1/2*[Log(sqrt(2)x-1) + Log (sqrt(2)x+1)]=Log(x^2+1)-1/2*[Log(x-1)+Log(x+1)]$
i passaggi che faccio sono questi
$1/2*[Log(sqrt(2)x-1) + Log (sqrt(2)x+1)]=1/2*Log(x^2+1)^2-1/2*[Log(x-1)+Log(x+1)]$
metto in comune $1/2$ e semplifico, trasformo la somma di due logaritmi nella moltiplicazione dei due argomenti
$1/2*[Log((sqrt(2)x-1) * (sqrt(2)x+1))]=1/2*[Log(x^2+1)^2-Log((x-1)*(x+1))]$
poi
$Log((sqrt(2)x-1) * (sqrt(2)x+1))=Log((x^2+1)^2/((x-1)*(x+1)))$
ora eguagli i due argomenti
$(sqrt(2)x-1) * (sqrt(2)x+1)=(x^2+1)^2/((x-1)*(x+1))$
$2x^2-1=(x^4+2x^2+1)/(x^2-1)$
sviluppando arrivo a
$x^4-x^2=0$
che è sbaglio, il libro da come soluzione $sqrt(5)$.
Dove sbaglio?
$1/2*[Log(sqrt(2)x-1) + Log (sqrt(2)x+1)]=Log(x^2+1)-1/2*[Log(x-1)+Log(x+1)]$
i passaggi che faccio sono questi
$1/2*[Log(sqrt(2)x-1) + Log (sqrt(2)x+1)]=1/2*Log(x^2+1)^2-1/2*[Log(x-1)+Log(x+1)]$
metto in comune $1/2$ e semplifico, trasformo la somma di due logaritmi nella moltiplicazione dei due argomenti
$1/2*[Log((sqrt(2)x-1) * (sqrt(2)x+1))]=1/2*[Log(x^2+1)^2-Log((x-1)*(x+1))]$
poi
$Log((sqrt(2)x-1) * (sqrt(2)x+1))=Log((x^2+1)^2/((x-1)*(x+1)))$
ora eguagli i due argomenti
$(sqrt(2)x-1) * (sqrt(2)x+1)=(x^2+1)^2/((x-1)*(x+1))$
$2x^2-1=(x^4+2x^2+1)/(x^2-1)$
sviluppando arrivo a
$x^4-x^2=0$
che è sbaglio, il libro da come soluzione $sqrt(5)$.
Dove sbaglio?
Risposte
Dovrebbe essere solo un errore di conto.
Se non sbaglio, l'equazione diventa $(2x^2-1)(x^2-1)=(x^4+2x^2+1)$, cioè $2x^4-2x^2-x^2+1-x^4-2x^2-1=0$. Sommando, $x^4-5x^2=0$, che dovrebbe essere l'equazione corretta. Mi raccomando, ricontrolla i miei conti, e non ti dimenticare delle condizioni di esistenza dei logaritmi (e occhio anche ai denominatori, che anche io ho semplificato "alla svelta").
Se hai bisogno posta ancora.
Ciao,
Paolo
"ercand":
$2x^2-1=(x^4+2x^2+1)/(x^2-1)$
sviluppando arrivo a
$x^4-x^2=0$
Se non sbaglio, l'equazione diventa $(2x^2-1)(x^2-1)=(x^4+2x^2+1)$, cioè $2x^4-2x^2-x^2+1-x^4-2x^2-1=0$. Sommando, $x^4-5x^2=0$, che dovrebbe essere l'equazione corretta. Mi raccomando, ricontrolla i miei conti, e non ti dimenticare delle condizioni di esistenza dei logaritmi (e occhio anche ai denominatori, che anche io ho semplificato "alla svelta").
Se hai bisogno posta ancora.
Ciao,
Paolo
Ho rifatto l'ultimo passaggio e viene come dici tu, errore di distrazione 
.
grazie.
.grazie.
Ho un'altra equazione che mi crea dubbi
$Log(sqrt(1+x)+1)=1/2Log(1+x+sqrt(1-x))$
Sviluppando il tutto arrivo a questa equazione
$25x^2+24x=0$ che come soluzioni ha $-24/25$ e $0$
il libro da come soluzione solo $-24/25$.
Effettivamente sostituendo la $x$ con $0$ l'equazione non è risolta, ma allora perchè si anche 0 come soluzione?
$Log(sqrt(1+x)+1)=1/2Log(1+x+sqrt(1-x))$
Sviluppando il tutto arrivo a questa equazione
$25x^2+24x=0$ che come soluzioni ha $-24/25$ e $0$
il libro da come soluzione solo $-24/25$.
Effettivamente sostituendo la $x$ con $0$ l'equazione non è risolta, ma allora perchè si anche 0 come soluzione?
"ercand":
Ho un'altra equazione che mi crea dubbi
$Log(sqrt(1+x)+1)=1/2Log(1+x+sqrt(1-x))$
Sviluppando il tutto arrivo a questa equazione
$25x^2+24x=0$ che come soluzioni ha $-24/25$ e $0$
il libro da come soluzione solo $-24/25$.
Effettivamente sostituendo la $x$ con $0$ l'equazione non è risolta, ma allora perchè si anche 0 come soluzione?
Hai studiato il campo d'esistenza delle due radici quadrate? E dei logaritmi (il primo è ovvio, ma il secondo non mi pare...)? Ti hanno insegnato a fare questi "studi" prima di procedere a risolvere le equazioni di questo tipo?
Allora dobbiamo avere l'argomento del logaritmo maggiore 0
l'argomento del primo logaritmo è soddisfatto per $x>=-1$
Il secondo argomento
$1+x+sqrt(1-x)>=0$
si risolver con questo sistema
$\{(-x-1<0),(1-x>=0):} uu {(-x-1>=0),(1-x>(-x-1)^2):}$
Se ho fatto bene i calcoli
Il primo sistema è risolto per $-1
Quindi unendo tutti i risultati il dominio di $x$ dovrebbe essere $-1<=x<=1$
Giusto?
l'argomento del primo logaritmo è soddisfatto per $x>=-1$
Il secondo argomento
$1+x+sqrt(1-x)>=0$
si risolver con questo sistema
$\{(-x-1<0),(1-x>=0):} uu {(-x-1>=0),(1-x>(-x-1)^2):}$
Se ho fatto bene i calcoli
Il primo sistema è risolto per $-1
Quindi unendo tutti i risultati il dominio di $x$ dovrebbe essere $-1<=x<=1$
Giusto?
OK
Il campo di esistenza è corretto
Il campo di esistenza è corretto
ma allora 0 è compreso nel campo di esistenza, perchè escluderlo? non riesco a capirlo, indizio per favore :p.
Anche io avevo fatto i conti e il campo di esistenza effettivamente veniva quello. Il guaio è che - svolgendo l'equazione - salta fuori proprio quella indicata da ercand, che ammette palesemente la soluzione $x=0$. Come si fa a dire che non va? $0$ è compreso nel CDE, no?
Eppure non verifica l'equazione...
P.S: Buon Ferragosto a tutti.
Eppure non verifica l'equazione...
P.S: Buon Ferragosto a tutti.
"Paolo90":
Anche io avevo fatto i conti e il campo di esistenza effettivamente veniva quello. Il guaio è che - svolgendo l'equazione - salta fuori proprio quella indicata da ercand, che ammette palesemente la soluzione $x=0$. Come si fa a dire che non va? $0$ è compreso nel CDE, no?
0 è compreso nel CE dell'equazione, ma non nell'insieme di restrizione.
Ogni volta che si eleva al quadrato possono essere introdotte soluzioni,
per cui o si controlla alla fine che le radici trovate risolvano effettivamente l'equazione,
o si restringe preventivamente l'insieme in cui possono cadere le soluzioni.
Riporto i passaggi per spiegarmi meglio:
$\log (\sqrt{1+x} + 1) = 1/2 \log (1 + x + \sqrt{1-x})$
$1+x+2\sqrt{1+x}+1=1+x+\sqrt{1-x}$
$\sqrt{1-x}=2\sqrt{1+x}+1$
elevando al quadrato pongo $2\sqrt{1+x}+1>=0 \rightarrow x >= -1$
$1-x=4+4x+4\sqrt{1+x}+1$
$4\sqrt{1+x}=-(5x+4)$
elevando al quadrato pongo $-(5x+4)>=0 \rightarrow x <= -4/5$ (questo eliminerà $x_1=0$)
$16+16x=25x^2+40x+16$
$25x^2+24x=0$
$x_1=0$ non accettabile poiché $0>=-4/5$
$x_2=-24/25$ accettabile
A livello "pratico" ci sono: in effetti, qui
era ovvio (e io da stupido me lo sono lasciato sfuggire) che il secondo membro deve essere positivo (o nullo) perchè l'equazione ammetta radici (come potrebbe essere il risultato di una radice quadrata negativo?). Ok, grazie per la precisazione.
Tuttavia, mi sfugge qualcosa diciamo "a livello teorico": io, infatti, sapevo che da $a=b -> a^2=b^2 \forall a,b in RR$. Giusto? L'implicazione è valida per tutti i reali, non solo per i reali positivi (in effetti, $-3=-3 -> 9=9$). Dov'è l'inghippo? Sarà che non avevo mai sentito di questa storia dell'insieme di restrizione...
Grazie.
Paolo
"meursault":
$4\sqrt{1+x}=-(5x+4)$
elevando al quadrato pongo $-(5x+4)>0 \rightarrow x <= -4/5$ (questo eliminerà $x_1=0$)
era ovvio (e io da stupido me lo sono lasciato sfuggire) che il secondo membro deve essere positivo (o nullo) perchè l'equazione ammetta radici (come potrebbe essere il risultato di una radice quadrata negativo?). Ok, grazie per la precisazione.
Tuttavia, mi sfugge qualcosa diciamo "a livello teorico": io, infatti, sapevo che da $a=b -> a^2=b^2 \forall a,b in RR$. Giusto? L'implicazione è valida per tutti i reali, non solo per i reali positivi (in effetti, $-3=-3 -> 9=9$). Dov'è l'inghippo? Sarà che non avevo mai sentito di questa storia dell'insieme di restrizione...
Grazie.
Paolo
"Paolo90":
Tuttavia, mi sfugge qualcosa diciamo "a livello teorico": io, infatti, sapevo che da $a=b -> a^2=b^2 \forall a,b in RR$. Giusto? L'implicazione è valida per tutti i reali, non solo per i reali positivi (in effetti, $-3=-3 -> 9=9$). Dov'è l'inghippo? Sarà che non avevo mai sentito di questa storia dell'insieme di restrizione...
Nella risoluzione delle equazioni con radici sicuramente l'hai usato,
forse non lo chiamavi "insieme di restrizione", ma poco importa.
Su $a=b -> a^2=b^2 \forall a,b in RR$ non c'è nessun problema,
ma in un'equazione tu vuoi trovare le soluzioni $a = ...$;
da $a^2 = b^2$ potresti affermare che $a = \pm b$,
che non è vero perché l'equazione di partenza era $a=b$.
Elevando al quadrato hai aggiunto la soluzione $a = -b$,
che andava eliminata con un insieme di restrizione (qui molto banale).
In genere questa cosa accade con le radici,
perché uno si dimentica di porre il secondo membro maggiore di zero.
Aggiungo alle ottime spiegazioni di meursault che il motivo teorico fondamentale è che quando si risolvono le equazioni si ottengono scritture formali che sono equivalenti, cioè si può andare avanti e indietro. Senza porre le opportune restrizioni non si può andare indietro, sicché vengono fuori questi pasticci.
Chiarissimi entrambi. Grazie mille per i chiarimenti.
Paolo
Paolo
Grazie per la spiegazione così precisa.
Altra equazione che mi da problemi
$(log_3x+1) / (log_3x - 1) - (log_3x +2)/(log_3x - 2) + 3 <=0$
quello che faccio è porre $log_3x=t$ e diventa
$(t+1)/(t-1)-(t+2)/(t-2)+3<=0$
sviluppo e arrivo a $3t^2-11t+6<=0$ che ha come soluzione $2/3<=t<=3$ quindi $ root(3)(9)<=x<=25$
per non avere denominatore nullo si deve escludere $x=1/3$ e $x=1/9$ in più deve essere $x>0$
il libro però come soluzione da $root(3)(9)<=x<3 ; 9
quale altro passaggio mi manca da fare?
$(log_3x+1) / (log_3x - 1) - (log_3x +2)/(log_3x - 2) + 3 <=0$
quello che faccio è porre $log_3x=t$ e diventa
$(t+1)/(t-1)-(t+2)/(t-2)+3<=0$
sviluppo e arrivo a $3t^2-11t+6<=0$ che ha come soluzione $2/3<=t<=3$ quindi $ root(3)(9)<=x<=25$
per non avere denominatore nullo si deve escludere $x=1/3$ e $x=1/9$ in più deve essere $x>0$
il libro però come soluzione da $root(3)(9)<=x<3 ; 9
quale altro passaggio mi manca da fare?
In una disequazione non puoi eliminare il denominatore, devi studiarne il segno.
Primo ho scritto male i valori che annullano il denominatore, sono $x=3$ e $x=9$.
melia non ho capito quello che dovrei fare, come devo muovermi?
melia non ho capito quello che dovrei fare, come devo muovermi?
devi ridurre ad un'unica frazione. il denominatore non scompare.
facendo come mi avete detto arrivo a scrivere
$(3t^2-11t+6)/(3(t-1)(t-2))<=0$
e riesco a risolverla.
Ma allora io prima moltiplicando cosa ho ottenuto?
$(3t^2-11t+6)/(3(t-1)(t-2))<=0$
e riesco a risolverla.
Ma allora io prima moltiplicando cosa ho ottenuto?
prima hai scritto solo il numeratore (nella variabile $t$): mi pare sia lo stesso!
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