Aiuto con due problemi di Geom. Analitica
Ciao a tutti, ho difficoltà a procedere con la risoluzione di questi due problemi. Il primo problema mi chiede di determinale il luogo $γ$ dei punti del piano equidistante dalla retta $r:x-2=0$ e dal punto $F(4;2)$. In pratica devo ricavarmi l'equazione della parabola attraverso un sistema triplo, e quindi ricavare $a, b, c$ e non so come fare.
Il secondo problema mi dice di determinare $k$ affinché l'iperbole $x^2/9-y^2/(1+k)=1$ sia tangente alla retta di equazione $4x-9y-6=0$ e non so come si procede. Certo occorre un sistema, ma per determinare $k$?
Il secondo problema mi dice di determinare $k$ affinché l'iperbole $x^2/9-y^2/(1+k)=1$ sia tangente alla retta di equazione $4x-9y-6=0$ e non so come si procede. Certo occorre un sistema, ma per determinare $k$?
Risposte
Il regolamento impone di evitare titoli con richiesta di aiuto e di mandare il proprio svolgimento; ammetto però che l'hai infranto solo parzialmente, dato che specifichi che si tratta di geometria analitica e che dici qualche parola (poche) sullo svolgimento. In considerazione di questo ti do una limitatissima risposta.
I problema) Il metodo più rapido mi sembra cercare la parabola come luogo: indichi con P(x,y) il generico punto del luogo e imponi che le sue distanze dal punto e dalla retta siano uguali.
II problema) Applica la regola generale: si mettono a sistema le curve che devono essere tangenti e si impone che sia $Delta=0$
I problema) Il metodo più rapido mi sembra cercare la parabola come luogo: indichi con P(x,y) il generico punto del luogo e imponi che le sue distanze dal punto e dalla retta siano uguali.
II problema) Applica la regola generale: si mettono a sistema le curve che devono essere tangenti e si impone che sia $Delta=0$
Io ti ringrazio moltissimo per la risposta e ti chiedo scusa per aver infranto il regolamento, se vuoi puoi cancellare il post e lo rifaccio. Invece a proposito della tua risposta in via generale sapevo anche io intuire che si dovesse risolvere a quel modo. Entrando nel dettaglio, nei concreti passaggi matematici riguardanti lo svolgimento del problema, non so impostarli affatto.
Io non so come e che tipo di aiuto si può richiedere, ma ecco, ho delle vere difficoltà.
Se mi si potesse dare qualche dritta sui vari procedimenti matematici in modo dettagliato... Naturalmente in modo algebrico, non pretendo la rappresentazione cartesiana. Grazie
Io non so come e che tipo di aiuto si può richiedere, ma ecco, ho delle vere difficoltà.
Se mi si potesse dare qualche dritta sui vari procedimenti matematici in modo dettagliato... Naturalmente in modo algebrico, non pretendo la rappresentazione cartesiana. Grazie
La rappresentazione cartesiana devi però farla tu perché nei problemi di analitica va sempre fatta ed è di aiuto nel ragionamento. Mi pare che tu stia pensando al secondo problema e ti rispondo su questo; non faccio però nessun calcolo perché non imparerai la matematica finché non li farai da solo.
Comincia a disegnare la retta: sai come si fa? Non sapendo $k$ non puoi disegnare bene l'iperbole ma puoi trovarne i vertici e poi farne un primo schizzo, in modo che passi per i vertici e, a occhio, sia tangente alla retta.
A questo punto passi ai calcoli, per i quali conviene dare denominatore comune all'equazione dell'iperbole e poi procedere col metodo di sostituzione. Dall'equazione più facile (quella di primo grado) ricavi un'incognita e la sostituisci nell'altra.
Comincia a cercar di fare questo e sappimi dire quali difficoltà hai incontrato oppure qual è il risultato ottenuto. Vedremo poi come continuare.
Comincia a disegnare la retta: sai come si fa? Non sapendo $k$ non puoi disegnare bene l'iperbole ma puoi trovarne i vertici e poi farne un primo schizzo, in modo che passi per i vertici e, a occhio, sia tangente alla retta.
A questo punto passi ai calcoli, per i quali conviene dare denominatore comune all'equazione dell'iperbole e poi procedere col metodo di sostituzione. Dall'equazione più facile (quella di primo grado) ricavi un'incognita e la sostituisci nell'altra.
Comincia a cercar di fare questo e sappimi dire quali difficoltà hai incontrato oppure qual è il risultato ottenuto. Vedremo poi come continuare.
E ti ringrazio ancora una volta giammaria. Però per questo tipo di esercizi non è richiesta la rappresentazione grafica che invece avviene mentalmente. Il ragionamento deve essere prettamente algebrico e non ci si deve arrivare per tentativi come, che ne so, per i logaritmi che non possono essere risolti né per sostituzione né per confronto.
Evidentemente è qualcosa nel calcolo. Io nel secondo caso ho messo a sistema, ho isolato y dall'equazione di primo grado e l'ho sostituita all'altra, ho svolto tutti i calcoli e ho raccolto k. Credo che qui si debba discutere una particolare condizione tra i fattori di k e quelli non con k. Ma non ho ben capito come.
Evidentemente è qualcosa nel calcolo. Io nel secondo caso ho messo a sistema, ho isolato y dall'equazione di primo grado e l'ho sostituita all'altra, ho svolto tutti i calcoli e ho raccolto k. Credo che qui si debba discutere una particolare condizione tra i fattori di k e quelli non con k. Ma non ho ben capito come.
Per quanto riguarda il primo problema io l'ho impostato in questa maniera:
$x=ay^2+by+c$
${ ( (1-del)/(4a)=4 ),( -b/(2a)=2 ),( x=-(1-del)/(4a) ):}$
Ma non so come convertire i termini letterali in numerici.
$x=ay^2+by+c$
${ ( (1-del)/(4a)=4 ),( -b/(2a)=2 ),( x=-(1-del)/(4a) ):}$
Ma non so come convertire i termini letterali in numerici.
II problema) Dopo aver sostituito y dovresti aver ottenuto un'equazione contenente x e k ed devi ordinarla secondo le potenze di x, in un'equazione del tipo $ax^2+bx+c=0$, in cui i tre coefficienti possono contenere k (almeno uno lo fa di sicuro). A questo punto imponi la condizione di tangenza, cioè chiedi che il discriminante ($Delta=b^2-4ac$) sia nullo.
Chiarisco quello che ho detto con un esempio; i numeri sono completamente inventati. Supponiamo che l'equazione sia
$3x^2-2kx^2+5x-3k+1=0$
La riscrivo per vedere i coefficienti: $x^2(3-2k)+5x +(-3k+1)=0$
Impongo la tangenza: $5^2-4(3-2k)(-3k+1)=0$
e poi dovrei fare i calcoli e ricavare k; in questo esempio inventato non ne vale la pena ma fallo nel tuo.
Le soluzioni così ottenute sono accettabili se k+1 è positivo perché il testo dice che la curva è un'iperbole: se fosse negativo avremmo un'ellisse e se fosse nullo l'equazione non avrebbe significato.
I problema) Si può anche fare così ma mi sembra più scomodo. L'ultima formula va corretta: a primo membro sostituendo ad x il suo valore che è 2 e a secondo membro usando la formula corretta cioè $(-1-Delta)/(4a)$; poi a $Delta$ (a proposito: si scrive Delta, con la D maiuscola) sostituisci la formula che ti ho già indicato nell'altro problema e, con una certa fatica, risolvi il sistema. Se il metodo dei luoghi non ti piace, ti conviene prima trovare il vertice (che dimezza la distanza fre fuoco e direttrice) e poi risolvere questo sistema
${(x_F-x_V=1/(4a)),(y_V=-b/(2a)),(x_V=ay_V^2+by_V+c):}$
Se hai problemi a capire il motivo di un'equazione, chiedi.
Chiarisco quello che ho detto con un esempio; i numeri sono completamente inventati. Supponiamo che l'equazione sia
$3x^2-2kx^2+5x-3k+1=0$
La riscrivo per vedere i coefficienti: $x^2(3-2k)+5x +(-3k+1)=0$
Impongo la tangenza: $5^2-4(3-2k)(-3k+1)=0$
e poi dovrei fare i calcoli e ricavare k; in questo esempio inventato non ne vale la pena ma fallo nel tuo.
Le soluzioni così ottenute sono accettabili se k+1 è positivo perché il testo dice che la curva è un'iperbole: se fosse negativo avremmo un'ellisse e se fosse nullo l'equazione non avrebbe significato.
I problema) Si può anche fare così ma mi sembra più scomodo. L'ultima formula va corretta: a primo membro sostituendo ad x il suo valore che è 2 e a secondo membro usando la formula corretta cioè $(-1-Delta)/(4a)$; poi a $Delta$ (a proposito: si scrive Delta, con la D maiuscola) sostituisci la formula che ti ho già indicato nell'altro problema e, con una certa fatica, risolvi il sistema. Se il metodo dei luoghi non ti piace, ti conviene prima trovare il vertice (che dimezza la distanza fre fuoco e direttrice) e poi risolvere questo sistema
${(x_F-x_V=1/(4a)),(y_V=-b/(2a)),(x_V=ay_V^2+by_V+c):}$
Se hai problemi a capire il motivo di un'equazione, chiedi.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo