Aiuto ! analitica!

[mirk95]

ciao a tutti ! Scusate se vi disturbo anche per Ferragosto... Mi potreste aiutare con questo esercizio ??? Eccolo:

Studia il fascio di curve di equazione xy-2x-ky+k=0, con k diverso da 0 e determina gli eventuali punti base. Trova poi la curva del fascio tale che i punti di intersezione tra essa e la retta r passante per il punto base e perpendicolare a y=-1/2x+1 individuano un segmento di lunghezza spqr(5)/2.
Rappresenta la curva trovata.

Grazie 1000 in anticipo...

[bimbozza]

ciao mirko... di solito in questi esercizi qualcosa (se non tutto) riesci a farlo da te... perchè non mi fai vedere il tuo tentativo?

[mirk95]

Ti volevo chiedere una cosa... quando un problema dice studia il fascio di coniche... io come faccio a sapere se è un fascio di parabole, oppure di rette o di circonferenze? Oppure un fascio di funzioni omografiche??

[bimbozza]

L'equazione generale di una conica è

[math]ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey+f=0[/math]

.
Se

[math]a=c \not= 0[/math]

e

[math]b=0[/math]

è una circonferenza;
se

[math]a=b=c=0[/math]

è una retta;
se

[math]ac-b^2[/math]

è:

[math]=0[/math]

è una parabola;

[math]>0[/math]

è un ellisse;
[math]

[mirk95]

Nel mio caso però ho a=0 e c=0, che non corrisponde a nessuna delle coniche da te citate... come faccio a sapere se è un fascio di funzioni omografiche?

[bimbozza]

ma b=1 quindi ac-b^2=-1 cioè è un'iperbole...
ps. mi viene un dubbio...sai cosa sono le funzioni omografiche?

[mirk95]

si, è una iperbole equilatera traslata...
Ma se io per caso non so come è l'equazione generica di una conica qualunque.. (perché non l'abbiamo ancora fatto), non c'è un altro modo per stabilire di quale conica si tratta.??
[Sapendo cioè solamente la retta, la circonferenza, la parabola, l'ellisse e l'iperbole, senza aver studiato le coniche in generali e le discussioni...]

[bimbozza]

in generale si riconosce facilmente guardandola (soprattutto nel genere di esercizi che possono capitarti se ancora non hai fatto metodi di riconoscimento delle coniche)...
per esempio, nel tuo caso, basta esplicitare la funzione rispetto alla y...

[math]xy-2x-ky+k=0 [/math]

[math]y(x-k)=2x-k[/math]

[math]y= \frac{2x-k}{x-k}[/math]

[mirk95]

Sono ancora io... Allora io ho studiato il fascio e ho trovato come unico punto base A(0;1). Dopodiché ho trovato la retta perpendicolare a y=-1/2x+1 passante per il punto base.
il coefficiente angolare della nuova retta è 2 e la retta è y=2x+1.
Poi ho messo a sistema il fascio con la retta y=2x+1 e ho trovato due punti
(0;1) che è il punto A e ((2k+1)/2 ; (2k+2))
Dato che AB = radice di 5 /2 ho eguagliato e ho ottenuto due valori di k:
K=0 e K=-1 .
Perché il mio libro accetta solo la soluzione K=-1 ???

[bimbozza]

nel testo l'esercizio dice esplicitamente che k deve essere diverso da zero.

[mirk95]

Ah.. è vero... Ok grazie 1000!!!