Aiutino??? (56979)
Nella parte di piano definita dalla parabola d eq y=-x^2 +8x-7 e dall'asse x inscrivi un trapezio isoscele ABCD con la base maggiore AB sull'asse x.
Trova le coordinate di C e D in modo ke l'area del trapezio sia 32.
Inscrivi nella parte di piano definita dalla parabola di eq y= -2x^2 +16x-24 e dall'asse x un rettangolo ke ha il perimetro uguale a 16.
Grazie 1000,ancora una volta! ;) :hi
Trova le coordinate di C e D in modo ke l'area del trapezio sia 32.
Inscrivi nella parte di piano definita dalla parabola di eq y= -2x^2 +16x-24 e dall'asse x un rettangolo ke ha il perimetro uguale a 16.
Grazie 1000,ancora una volta! ;) :hi
Risposte
Trova i punti di intersezione della parabola con l'asse x.
L'asse x ha equazione y=0 pertanto sostituendo alla parabola
Pertanto la parabola interseca l'asse x nei punti (1,0) e (7,0), che sono gli estremi del segmento AB che e' la base maggiore del trapezio (e che misura 6)
A questo punto dobbiamo trovare la base minore tale che la sua lunghezza, aggiunta alla base maggiore, e moltiplicata per l'altezza del trapezio (ovvero la distanza tra uno dei due vertici e l'asse x) sia 32.
La base minore sara' parallela all'asse x e pertanto il segmento CD stara' su una retta del tipo y=k
I punti di intersezione della retta generica y=k con la parabola saranno la soluzione del sistema
Ovvero
Che ha soluzioni (usando la ridotta) per
Pertanto i punti di intersezione della retta con la parabola avranno sempre le ascisse di questa forma.
Mentre le ordinate saranno, ovviamente, y=k
Quindi i punti C e D hanno coordinate:
La base minore CD avra' lunghezza pari alla differenza delle ascisse, ovvero
Mentre l'altezza del trapezio sara' la distanza del punto C (o D) dall'asse x, ovvero l'ordinata, ovvero k
L'area del trapezio sara':
E quindi
Elevi al quadrato e trovi per quali valori di k l'equazione e' risolta.
Una volta trovato k, sostituisci alle coordinate generiche scritte sopra, e avrai trovato le coordinate di C e D.
Il rettangolo e' simile, prova tu :)
L'asse x ha equazione y=0 pertanto sostituendo alla parabola
[math] 0=-x^2+8x-7 \to x^2-8x+7=0 \to (x-7)(x-1)=0 \to x=1 \ \ \ x=7 [/math]
Pertanto la parabola interseca l'asse x nei punti (1,0) e (7,0), che sono gli estremi del segmento AB che e' la base maggiore del trapezio (e che misura 6)
A questo punto dobbiamo trovare la base minore tale che la sua lunghezza, aggiunta alla base maggiore, e moltiplicata per l'altezza del trapezio (ovvero la distanza tra uno dei due vertici e l'asse x) sia 32.
La base minore sara' parallela all'asse x e pertanto il segmento CD stara' su una retta del tipo y=k
I punti di intersezione della retta generica y=k con la parabola saranno la soluzione del sistema
[math] \{y=k \\ y=-x^2+8x-7 [/math]
Ovvero
[math] x^2-8x+7+k=0 [/math]
Che ha soluzioni (usando la ridotta) per
[math] x= 4 \pm \sqrt{16-7-k} \to x= 4 \pm \sqrt{9-k} [/math]
Pertanto i punti di intersezione della retta con la parabola avranno sempre le ascisse di questa forma.
Mentre le ordinate saranno, ovviamente, y=k
Quindi i punti C e D hanno coordinate:
[math] C(4- \sqrt{9-k} , k) \ \ \ \ \ \ D(4+ \sqrt{9-k},k) [/math]
La base minore CD avra' lunghezza pari alla differenza delle ascisse, ovvero
[math] \bar{CD}= 4+ \sqrt{9-k}- (4- \sqrt{9-k})=2 \sqrt{9-k} [/math]
Mentre l'altezza del trapezio sara' la distanza del punto C (o D) dall'asse x, ovvero l'ordinata, ovvero k
L'area del trapezio sara':
[math] \frac{(B+b) \cdot}{2}= \frac{\(6+2 \sqrt{9-k} \)k}{2}=32 [/math]
E quindi
[math] \(6+2 \sqrt{9-k} \)k=64 \to 6k+2k \sqrt{9-k}=64 \to \sqrt{9-k}= \frac{64-6k}{k} [/math]
Elevi al quadrato e trovi per quali valori di k l'equazione e' risolta.
Una volta trovato k, sostituisci alle coordinate generiche scritte sopra, e avrai trovato le coordinate di C e D.
Il rettangolo e' simile, prova tu :)
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