AIUTATEMI URGENTE?
UN GRAZIE IN ANTICIPO A CHI RISPONDERà (PER LA COMPLESSITà DEL PROBLEMA)
è dato il triangolo ABC ottusangolo in B con AB cm 12 ed AC=24. il punto P di AB e il punto Q di AC sono tali che AP=AQ; la corda PQ è lunga cm 4 per radice di 2 .sapendo che il segmento AP è medio proporzionale tra BP e CQ , determinare il perimetro dei triangoli APQ e ABC.(porre AP=AQ=x). RISULTATI:4(4+ RADICE DI 2); 12(3+RADICE DI 2)
è dato il triangolo ABC ottusangolo in B con AB cm 12 ed AC=24. il punto P di AB e il punto Q di AC sono tali che AP=AQ; la corda PQ è lunga cm 4 per radice di 2 .sapendo che il segmento AP è medio proporzionale tra BP e CQ , determinare il perimetro dei triangoli APQ e ABC.(porre AP=AQ=x). RISULTATI:4(4+ RADICE DI 2); 12(3+RADICE DI 2)
Risposte
Sappiamo che AP è medio proporzionale tra BP e CQ, per cui possiamo scrivere la proporzione:
BP:AP = AP:CQ
ma
BP = AB - AP = 12 - AP
CQ = AC - AQ = 24 - AQ
ed essendo AP=AQ
CQ = 24 - AP
sostituendo nella proporzione otteniamo:
(12-AP):AP = AP: (24-AP)
moltiplichiamo medi ed estremi
(12-AP)(24-AP) = AP^2
288 - 12AP - 24AP + AP^2 = AP^2
riduciamo e separiamo i termini in AP dai numeri
-36AP = -288
da cui
AP = 288/36 = 8 cm
Il perimetro del triangolo APQ è quindi pari a:
PAPQ=AP+AQ+PQ=2.8+4.2√=4.(4+2√)cm
Conduciamo la parallela a PQ in B, ottenendo il punto k all'intersezione con AC.
Il triangolo ABK è simile al triangolo APQ per il primo criterio (essendo BK // PQ per costruzione, gli angoli interni dei due triangoli sono ordinatamente congruenti).
Di conseguenza possiamo mettere i lati ordinatamente in proporzione:
AP:AB = PQ:BK
ricaviamo BK
BK=AB∗PQAP=12.4.2√8=6.2√cm
Da notare che se i due triangoli sono simili essendo AP=AQ, allora anche AB sarà uguale a AK, ma essendo AB = 12 cm e AC = 24 cm, ne deriva che il segmento BK è la mediana del triangolo ABC relativa al lato AC.
Possiamo allora ricorrere alla formula della mediana per calolare la misura del lato mancante:
BK=12.2.(BC2+AB2)−AC2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√
eleviamo tutto al quadrato ed otteniamo
BK2=14.2.(BC2+AB2)−AC2
da cui ricaviamo che BC vale
BC=4.BK2−2.AB2+AC22−−−−−−−−−−−−−−√
BC=4.72−2∗144+5762−−−−−−−−−−−−√=12.2√cm
e da qui ti puoi ricavare tranquillamente il perimetro anche del triangolo ABC.
Se vedi hanno fatto la tua stessa domanda qui:
https://forum.skuola.net/matematica/problema-di-geometria-103989.html
ed ha risposto Max, ed è ottima la sua risposta!
BP:AP = AP:CQ
ma
BP = AB - AP = 12 - AP
CQ = AC - AQ = 24 - AQ
ed essendo AP=AQ
CQ = 24 - AP
sostituendo nella proporzione otteniamo:
(12-AP):AP = AP: (24-AP)
moltiplichiamo medi ed estremi
(12-AP)(24-AP) = AP^2
288 - 12AP - 24AP + AP^2 = AP^2
riduciamo e separiamo i termini in AP dai numeri
-36AP = -288
da cui
AP = 288/36 = 8 cm
Il perimetro del triangolo APQ è quindi pari a:
PAPQ=AP+AQ+PQ=2.8+4.2√=4.(4+2√)cm
Conduciamo la parallela a PQ in B, ottenendo il punto k all'intersezione con AC.
Il triangolo ABK è simile al triangolo APQ per il primo criterio (essendo BK // PQ per costruzione, gli angoli interni dei due triangoli sono ordinatamente congruenti).
Di conseguenza possiamo mettere i lati ordinatamente in proporzione:
AP:AB = PQ:BK
ricaviamo BK
BK=AB∗PQAP=12.4.2√8=6.2√cm
Da notare che se i due triangoli sono simili essendo AP=AQ, allora anche AB sarà uguale a AK, ma essendo AB = 12 cm e AC = 24 cm, ne deriva che il segmento BK è la mediana del triangolo ABC relativa al lato AC.
Possiamo allora ricorrere alla formula della mediana per calolare la misura del lato mancante:
BK=12.2.(BC2+AB2)−AC2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√
eleviamo tutto al quadrato ed otteniamo
BK2=14.2.(BC2+AB2)−AC2
da cui ricaviamo che BC vale
BC=4.BK2−2.AB2+AC22−−−−−−−−−−−−−−√
BC=4.72−2∗144+5762−−−−−−−−−−−−√=12.2√cm
e da qui ti puoi ricavare tranquillamente il perimetro anche del triangolo ABC.
Se vedi hanno fatto la tua stessa domanda qui:
https://forum.skuola.net/matematica/problema-di-geometria-103989.html
ed ha risposto Max, ed è ottima la sua risposta!
grazieeee!
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