Aiutatemi per favore in questo problema

[kolio]

NEL Piano xOy determinare: i punti B e C che formano con O e A(2;6) triangoli isosceli di base OA e area uguale a 8; l'equazione della circonferenza passante per A e tangente in O alla retta x+3y=0; su tale circonferenza, i punti P(x;y), con x>0 e y>0, tali che: x+(k+1)y+2k=0 grazie mille in anticipo

[BIT5]

Qui puoi procedere in piu' modi.

Io farei cosi' (secondo me e' il piu' semplice)

Calcoliamo la lunghezza di AO:

[math] \bar{AO}= \sqrt{2^2+6^2}= \sqrt{4+36} = \sqrt{40} = 2 \sqrt{10} [/math]

Siccome vogliamo due triangoli isoscele di base AO, sapendo che l'altezza (che ci occorre per il calcolo dell'area) e' perpendicolare alla base e passa per il suo punto medio, calcoliamo la retta su cui giacciono TUTTE le altezze dei triangoli isoscele di base AO.

Calcoliamo dunque il punto medio di AO

[math] x_M= \frac{x_O+x_A}{2}= \frac22 = 1 \\ \\ \\ \\ y_M=3 [/math]

Calcoliamo inoltre l'equazione della retta AO, per poter trovare la retta ad essa perpendicolare e passante per il punto medio (1,3)

[math] \frac{y-y_O}{y_a-y_O}= \frac{x-x_O}{x_A-x_O} [/math]

da cui quindi

[math] \frac{y}{6}= \frac{x}{2} \to y=3x [/math]

tutte le rette perpendicolari alla retta trovata (AO) avranno pertanto pendenza -1/3 e quella passante per il punto medio, ne soddisfera' l'equazione, quindi

[math] y=- \frac13x+q[/math]

sono tutte le rette perpendicolari ad AO

[math] 3=- \frac13 \cdot 1 + q \to 9=-1+3q \to 3q=10 \to q= \frac{10}{3} [/math]

la perpendicolare ad AO dunque, passante per il suo punto medio, sara'

[math] y= - \frac13 x + \frac{10}{3} [/math]

A noi occorre che l'area del triangolo isoscele sia 8. sappiamo che la base e' 2 radice 10. Allora l'altezza dovra' essere:

[math]8= \frac{2 \sqrt{10} \cdot h}{2} \to h= \frac{16}{2 \sqrt{10}} = \frac{8 \sqrt{10}}{10} = \frac{4 \sqrt{10}}{5} [/math]

(ho razionalizzato)

Tutti i punti che giacciono sulla retta y=-1/3x+10/3 hanno coordinate:

[math] \(x_P,- \frac13x_P+ \frac{10}{3} \) [/math]

Proprio perche' la y dipende dal valore di x..

Prendiamo i due punti tali che la loro distanza dal punto medio, sia

[math] \frac{4 \sqrt{10}}{5} [/math]

Quindi

[math] \bar{MP}= \sqrt{(x_M-x_P)^2+(y_M-y_P)^2} = \sqrt{(1-x_P)^2+(3- \(- \frac13 x_P+ \frac{10}{3} \)^2} [/math]

Esegui un po' di conti e trovi

[math] \bar{MP}= \sqrt{1+x_P^2-2x_P+ \( \frac{19}{3} + \frac13x_P \)^2} = \\ \\ \\ [/math]

Ma vengono dei numeri pessimi -.-

Sei sicuro del testo???????

Io ricontrollo i conti

Aggiunto 3 secondi più tardi:

Qui puoi procedere in piu' modi.

Io farei cosi' (secondo me e' il piu' semplice)

Calcoliamo la lunghezza di AO:

[math] \bar{AO}= \sqrt{2^2+6^2}= \sqrt{4+36} = \sqrt{40} = 2 \sqrt{10} [/math]

Siccome vogliamo due triangoli isoscele di base AO, sapendo che l'altezza (che ci occorre per il calcolo dell'area) e' perpendicolare alla base e passa per il suo punto medio, calcoliamo la retta su cui giacciono TUTTE le altezze dei triangoli isoscele di base AO.

Calcoliamo dunque il punto medio di AO

[math] x_M= \frac{x_O+x_A}{2}= \frac22 = 1 \\ \\ \\ \\ y_M=3 [/math]

Calcoliamo inoltre l'equazione della retta AO, per poter trovare la retta ad essa perpendicolare e passante per il punto medio (1,3)

[math] \frac{y-y_O}{y_a-y_O}= \frac{x-x_O}{x_A-x_O} [/math]

da cui quindi

[math] \frac{y}{6}= \frac{x}{2} \to y=3x [/math]

tutte le rette perpendicolari alla retta trovata (AO) avranno pertanto pendenza -1/3 e quella passante per il punto medio, ne soddisfera' l'equazione, quindi

[math] y=- \frac13x+q[/math]

sono tutte le rette perpendicolari ad AO

[math] 3=- \frac13 \cdot 1 + q \to 9=-1+3q \to 3q=10 \to q= \frac{10}{3} [/math]

la perpendicolare ad AO dunque, passante per il suo punto medio, sara'

[math] y= - \frac13 x + \frac{10}{3} [/math]

A noi occorre che l'area del triangolo isoscele sia 8. sappiamo che la base e' 2 radice 10. Allora l'altezza dovra' essere:

[math]8= \frac{2 \sqrt{10} \cdot h}{2} \to h= \frac{16}{2 \sqrt{10}} = \frac{8 \sqrt{10}}{10} = \frac{4 \sqrt{10}}{5} [/math]

(ho razionalizzato)

Tutti i punti che giacciono sulla retta y=-1/3x+10/3 hanno coordinate:

[math] \(x_P,- \frac13x_P+ \frac{10}{3} \) [/math]

Proprio perche' la y dipende dal valore di x..

Prendiamo i due punti tali che la loro distanza dal punto medio, sia

[math] \frac{4 \sqrt{10}}{5} [/math]

Quindi

[math] \bar{MP}= \sqrt{(x_M-x_P)^2+(y_M-y_P)^2} = \\ \\ \\ = \sqrt{(1-x_P)^2+(3- \(- \frac13 x_P+ \frac{10}{3} \)^2} [/math]

Esegui un po' di conti e trovi

[math] \bar{MP}= \sqrt{1+x_P^2-2x_P+ \( \frac{19}{3} + \frac13x_P \)^2} = \\ \\ \\ [/math]

Ma vengono dei numeri pessimi -.-

Sei sicuro del testo???????

Io ricontrollo i conti