A digiuno di matematica!
Salve a tutti, sono nuovo del forum e non sapevo in quale sezione postare il mio topic, spero di non aver sbagliato.
Da qualche giorno mi sto interessando di numeri naturali, assiomi di Peano, in particolare il principio di induzione.
Il problema è che sono molto a digiuno di matematica e quindi anche la risoluzione di un semplice esercizio diventa un affare serio che mi impedisce di continuare lo studio
Vediamo se qualcuno vuole aiutarmi....
Ho una proposizione `P(n)` che dice: "la somma dei primi `n` (`n in NN`) numeri dispari è uguale a `n^2`
e devo verificarla induttivamente per tutti i valori di `n` utilizzando il III assioma di Peano.
Il testo dice:"supponendo vera la proposizione `P(n)`, cioè che
`sum_(k=1)^n(2k-1)=n^2`
dimostriamo che è vera la proposizione `P(n+1)`, cioè la proposizione
`sum_(k=1)^(n+1)(2k-1)=(n+1)^2`
e fin qui tutto bene, poi l'esercizio prosegue nel seguente modo:
`sum_(k=1)^(n+1)(2k-1)=sum_(k=1)^n(2k-1)+(2(n+1)-1)=n^2+(2n+1)=(n+1)^2`
E conclude dicendo :"Poiché `P(1)` è vera e `P(n) rArr P(n+1)`, la `P(n)` è vera `AAn in NN, n >= 1`".
Per favore qualcuno mi dice il motivo per cui `sum_(k=1)^(n+1)(2k-1)=sum_(k=1)^n(2k-1)+(2(n+1)-1)`
Perché`sum_(k=1)^(n+1)` diventa `sum_(k=1)^(n)` aggiungendo quel `+(2(n+1)-1)` dall'altra parte??? Capisco che il `+(2(n+1)-1)` è `(2k-1)` dove a `k` si sostituisce `(n+1)`. Perché questo avviene? Perché questo determina che `sum_(k=1)^(n+1)` diventi `sum_(k=1)^(n)`???
Inoltre: che tipo di operazione si esegue per ottenere `n^2+(2n+1)` a partire da `sum_(k=1)^n(2k-1)+(2(n+1)-1)`?
Per quanto riguarda `n^2+(2n+1)=(n+1)^2`ho capito l'eguaglianza (è un quadrato del binomio) ed è forse l'unica cosa che ho capito
Lo so che le mie domande, per chi conosce la matematica sono molto banali, ma prego comunque di rispondermi, ho bisogno di imparare queste cose
Da qualche giorno mi sto interessando di numeri naturali, assiomi di Peano, in particolare il principio di induzione.
Il problema è che sono molto a digiuno di matematica e quindi anche la risoluzione di un semplice esercizio diventa un affare serio che mi impedisce di continuare lo studio
Vediamo se qualcuno vuole aiutarmi....
Ho una proposizione `P(n)` che dice: "la somma dei primi `n` (`n in NN`) numeri dispari è uguale a `n^2`
e devo verificarla induttivamente per tutti i valori di `n` utilizzando il III assioma di Peano.
Il testo dice:"supponendo vera la proposizione `P(n)`, cioè che
`sum_(k=1)^n(2k-1)=n^2`
dimostriamo che è vera la proposizione `P(n+1)`, cioè la proposizione
`sum_(k=1)^(n+1)(2k-1)=(n+1)^2`
e fin qui tutto bene, poi l'esercizio prosegue nel seguente modo:
`sum_(k=1)^(n+1)(2k-1)=sum_(k=1)^n(2k-1)+(2(n+1)-1)=n^2+(2n+1)=(n+1)^2`
E conclude dicendo :"Poiché `P(1)` è vera e `P(n) rArr P(n+1)`, la `P(n)` è vera `AAn in NN, n >= 1`".
Per favore qualcuno mi dice il motivo per cui `sum_(k=1)^(n+1)(2k-1)=sum_(k=1)^n(2k-1)+(2(n+1)-1)`
Perché`sum_(k=1)^(n+1)` diventa `sum_(k=1)^(n)` aggiungendo quel `+(2(n+1)-1)` dall'altra parte??? Capisco che il `+(2(n+1)-1)` è `(2k-1)` dove a `k` si sostituisce `(n+1)`. Perché questo avviene? Perché questo determina che `sum_(k=1)^(n+1)` diventi `sum_(k=1)^(n)`???
Inoltre: che tipo di operazione si esegue per ottenere `n^2+(2n+1)` a partire da `sum_(k=1)^n(2k-1)+(2(n+1)-1)`?
Per quanto riguarda `n^2+(2n+1)=(n+1)^2`ho capito l'eguaglianza (è un quadrato del binomio) ed è forse l'unica cosa che ho capito
Lo so che le mie domande, per chi conosce la matematica sono molto banali, ma prego comunque di rispondermi, ho bisogno di imparare queste cose
Risposte
Il termine $2(n+1) - 1$ non fa parte dell'argomento della sommatoria. Infatti
$\sum_{k=1}^{n} (2k-1) = 1 + 3 + \ldots + 2n - 3 + 2n - 1$
$\sum_{k=1}^{n+1} = 1 + 3 + \ldots + 2n - 3 + 2n - 1 + 2n + 1 = 1 + 3 + \ldots + 2n - 3 + 2n - 1 + 2 (n+1) - 1$
pertanto si nota che
$\sum_{k=1}^{n+1} (2k - 1) = 2 (n+1) - 1 + \sum_{k=1}^{n} (2k-1)$
ovvero alla sommatoria di destra, per ottenere quella di sinistra, basta aggiungere il termine ottenuto per $k=n+1$.
$\sum_{k=1}^{n} (2k-1) = 1 + 3 + \ldots + 2n - 3 + 2n - 1$
$\sum_{k=1}^{n+1} = 1 + 3 + \ldots + 2n - 3 + 2n - 1 + 2n + 1 = 1 + 3 + \ldots + 2n - 3 + 2n - 1 + 2 (n+1) - 1$
pertanto si nota che
$\sum_{k=1}^{n+1} (2k - 1) = 2 (n+1) - 1 + \sum_{k=1}^{n} (2k-1)$
ovvero alla sommatoria di destra, per ottenere quella di sinistra, basta aggiungere il termine ottenuto per $k=n+1$.
Ciao Tipper ,
Se dicessi di aver veramente capito non sarei sincero comunque un buon indizio penso di averlo avuto.
Ma scusa solo un'altra domanda: questa cosa la trovo nelle proprietà delle sommatorie?
Grazie
Se dicessi di aver veramente capito non sarei sincero comunque un buon indizio penso di averlo avuto.
Ma scusa solo un'altra domanda: questa cosa la trovo nelle proprietà delle sommatorie?
Grazie
La scrittura $\sum_{k=1}^{n} x_k$ è solo una forma compatta per scrivere $x_1 + x_2 + \ldots + x_n$, fin qui ci siamo, no?
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