A cosa serve fare queste operazioni nello studio di una funzione (derivate)?
A scuola sto facendo gli studi delle funzioni con derivate (metodo NON standard, credo sia quello senza i limiti, anche perché non li abbiamo mai fatti) e fra 1 settimana ho il compito; durante gli esercizi facciamo il classico procedimento per studiare una funzione normale (dominio, pari o dispari, segno e intersezioni con Y e X), adesso però con l'inizio delle derivate dobbiamo calcolare altre cose, quindi trovare la derivata della funzione iniziale, e tra cui trovarne il segno, il dominio e derivata=0, ma non ho capito cosa determinano nel grafico questi ultimi 3 calcoli, cosa vado a trovare?
Risposte
Domanda più che giusta. Cosa vai a trovare? Informazioni, sostanzialmente.
Se la funzione è pari: f(-x)=f(x) o dispari: f(-x)=-f(x), significa che è sufficiente studiare metà funzione e automaticamente conosci anche l'andamento per la restante parte. Significa metà tempo e metà energie per risolvere un problema.
Dominio: se la funzione è limitata nel Dominio o lo è la sua Immagine, anche questa è una informazione. Perderesti mai il tempo a cercare valori di y negativi per la funzione y=x^2? O valori di x e y esterni ad una circonferenza?
Derivata: la derivata è sostanzialmente una pendenza. Se questa è uguale a zero, molto probabilmente è un minimo o un massimo, anche relativi. Immagina una funzione che descriva il profilo di una montagna. Tu provi a scalarla e, di tanto in tanto trovi un avvallamento (minimo relativo), un terreno piatto (flesso), e via dicendo.
Hai dimenticato di menzionare gli asintoti.
Raccogli tutte le informazioni: dove ci sono gli asintoti disegnerai un pezzetto di curva; dove ci sono i minimi e massimi disegnerai dei vertici a concavità verso l'alto e verso il basso; dove ci sono flessi un pezzetto curva piatta; e via dicendo, le intersezioni, altri punti notevoli ecc.
Poi connetti tutti questi pezzetti di curva. Il risultato è il grafico della funzione.
PS: il fatto che non hai fatto i limiti, non ti vieta di leggere qualcosa a proposito. Francamente non posso immaginare di poter spiegare cosa è una derivata senza parlare di limite del rapporto incrementale. Tuttavia, come ho scritto, nulla vieta a nessuno di informarsi e, in caso di dubbi, di fare domande. Il concetto di misura di pendenza, ad esempio, la sperimentiamo tutti quando facciamo le scale. Anche il fiatone può essere una misura. Ma la pendenza ha il vantaggio di essere oggettiva.
Se la funzione è pari: f(-x)=f(x) o dispari: f(-x)=-f(x), significa che è sufficiente studiare metà funzione e automaticamente conosci anche l'andamento per la restante parte. Significa metà tempo e metà energie per risolvere un problema.
Dominio: se la funzione è limitata nel Dominio o lo è la sua Immagine, anche questa è una informazione. Perderesti mai il tempo a cercare valori di y negativi per la funzione y=x^2? O valori di x e y esterni ad una circonferenza?
Derivata: la derivata è sostanzialmente una pendenza. Se questa è uguale a zero, molto probabilmente è un minimo o un massimo, anche relativi. Immagina una funzione che descriva il profilo di una montagna. Tu provi a scalarla e, di tanto in tanto trovi un avvallamento (minimo relativo), un terreno piatto (flesso), e via dicendo.
Hai dimenticato di menzionare gli asintoti.
Raccogli tutte le informazioni: dove ci sono gli asintoti disegnerai un pezzetto di curva; dove ci sono i minimi e massimi disegnerai dei vertici a concavità verso l'alto e verso il basso; dove ci sono flessi un pezzetto curva piatta; e via dicendo, le intersezioni, altri punti notevoli ecc.
Poi connetti tutti questi pezzetti di curva. Il risultato è il grafico della funzione.
PS: il fatto che non hai fatto i limiti, non ti vieta di leggere qualcosa a proposito. Francamente non posso immaginare di poter spiegare cosa è una derivata senza parlare di limite del rapporto incrementale. Tuttavia, come ho scritto, nulla vieta a nessuno di informarsi e, in caso di dubbi, di fare domande. Il concetto di misura di pendenza, ad esempio, la sperimentiamo tutti quando facciamo le scale. Anche il fiatone può essere una misura. Ma la pendenza ha il vantaggio di essere oggettiva.
Ok, grazie delle info, ma non ho capito a cosa è assegnato ogni calcolo che ho citato (per esempio, trovare la derivata=0 cosa significa? significa trovare una linea retta parallela all'asse X?)
Se conosci la parabola, prova ad immaginare tutte le rette tangenti alla parabola(questa famiglia di rette ha anche un nome: inviluppo). Quella che è tangente alla parabola nel vertice risulta parallela all'asse delle x. Appena cercherai di disegnare su carta ciò che ho appena scritto, ti sarà immediatamente chiaro.
Per capire meglio, dovrei parlarti di limite del rapporto incrementale. Concetto che di per sé è alla portata di tutti, ma che nasconde delle insidie.
PS: Imporre la derivata=0 significa trovare un punto della funzione dove la pendenza è nulla.
Nel caso della parabola
la derivata è
Se imponiamo:
Ciò significa che nella parabola y=x^2, vi è un punto ove la sua derivata si annulla. E questo punto ha ascissa 0.
Per sapere l'ordinata del punto, basterà imporre al valore x della parabola il valore appena trovato, ossia 0
Quindi il punto è:
che, in questo caso, è punto di minimo assoluto.
Per capire meglio, dovrei parlarti di limite del rapporto incrementale. Concetto che di per sé è alla portata di tutti, ma che nasconde delle insidie.
PS: Imporre la derivata=0 significa trovare un punto della funzione dove la pendenza è nulla.
Nel caso della parabola
[math]y=x^2[/math]
la derivata è
[math]f'(x)=2x[/math]
Se imponiamo:
[math]f'(x)=0 \Longleftrightarrow 2x=0 \Longleftrightarrow x=0[/math]
Ciò significa che nella parabola y=x^2, vi è un punto ove la sua derivata si annulla. E questo punto ha ascissa 0.
Per sapere l'ordinata del punto, basterà imporre al valore x della parabola il valore appena trovato, ossia 0
[math]f(0)=(0)^2=0[/math]
Quindi il punto è:
[math]P(0,0)[/math]
che, in questo caso, è punto di minimo assoluto.
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