3 problemi di geometria con equazioni di secondo grado

[-MiLeY- 4e]

Domani ho la verifica di matematica.. E oggi non mi esce nemmeno un problema!
Ansia pre-verifica? Mah!
Aiutatemi vi prego!!!! :beatin
(scusate ma non so usare il latex..) :beatin

Primo problema:
In un rettangolo ABCD il lato AB è il triplo del lato AD e il quadrato costruito sulla diagonale DB ha area 160cm alla seconda.
Sia H la proiezione di A su DB.
Calcola:
- La lunghezza di AH
- Le aree dei due triangoli AHD e AHB

Secondo problema:
In un rettangolo di perimetro 96 cm la diagonale misura 12 per radice di 10 cm.
Calcola:
- L'area
- La distanza di un vertice dalla diagonale

Terzo problema:
In un rombo di perimetro 40 cm la diagonale maggiore supera di 4 cm la diagonale minore.
Calcola l'area del rombo


Grazie mille in anticipo :dozingoff :dozingoff :dozingoff

[BIT5]

1)

detto x il lato AD, il lato AB sara' 3x.
La diagonale DB e' l'ipotenusa del triangolo rettangolo CDB, di cateti x e 3x, pertanto varra' il teorema di Pitagora e dunque

[math] x^2+(3x)^2 = 160 \to x^2+9x^2=160 \to x^2= 16 \to x= \pm 4 [/math]

Ma siccome siamo in geometria, la soluzione x=-4 non ha significato...

I lati saranno dunque 4 e 12 (3per4)

AH, la proiezione di A su DB, e' l'altezza del triangolo rettangolo ADB avente Area il semiprodotto dei cateti, quindi 24cm^2

Pertanto essendo AH l'altezza relativa all'ipotenusa, sara' vero che

[math] A= \frac{i \cdot h}{2} \to h= \frac{2A}{i} = \frac{48}{\sqrt{160}} [/math]

E qui non so se avete fatto i radicali, quindi non so se sapete "portar fuori"

Infine, i triangoli AHD e HDB sono due triangoli rettangoli di cui conosci i cateti e puoi trovare le superfici

Aggiunto 1 minuto più tardi:

(se sapete portare fuori, sai che

[math] \sqrt{160} = \sqrt{16 \cdot 10} = \sqrt{16} \sqrt{10} = 4 \sqrt{10} [/math]

)

Aggiunto 1 minuto più tardi:

E quindi l'altezza sara'

[math] \frac{ \no{48}^{12}}{\no{4}^1 \sqrt{10}} = \frac{12}{\sqrt{10}} = \frac{12 \sqrt{10}}{10} = \frac65 \sqrt{10} [/math]

(alla fine ho moltiplicato per

[math] \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}} [/math]

e ho quindi razionalizzato ;) )

Aggiunto 3 minuti più tardi:

2) detto x un lato, sappiamo che l'altro sara' 48-x

Infatti il semiperimetro (ovvero meta' perimetro) e' la somma dei due lati, quindi se uno e' x l'altro sara' 48-x

Anche qui grazie a Pitagora, trovi la lunghezza dei lati (cateti) e quindi l'area del triangolo rettangolo formato da due lati e la diagonale (e quindi, siccome la diagonale di un rettangolo divide il rettangolo stesso in due triangoli uguali, moltiplichi per 2 e trovi l'area del rettangolo) e quindi, per la formula inversa, la distanza di un vertice dalla diagonale, ovvero l'altezza relativa all'ipotenusa (come nell'esercizio 1)

Aggiunto 4 minuti più tardi:

3) Il rombo ha perimetro 40 quindi ogni lato e' 10

per comodita' chiama una diagonale 2x e quindi l'altra sara' 2x+4

siccome le diagonali di un rombo si bisecano (si dividono in due meta'), avrai 4 triangoli rettangoli di ipotenusa 10 e cateti 2x/2 (ovvero x) e (2x+4)/2 (ovvero 2(x+2)/2 e quindi x+2)

Per Pitagora sara' vero che

[math] \sqrt{x^2+(x+2)^2} = \sqrt{10^2} \to x^2+x^2+4x+4=100 [/math]

e trovi x (un cateto) e di conseguenza l'altro cateto (x+2)

A questo punto, o moltiplichi per 2 le diagonali e applichi la formula dell'area del rombo, oppure calcoli l'area di un triangolo e la moltiplichi per 4 (le diagonali dividono il rombo in 4 triangoli uguali)

Meglio ancora? siccome l'area di ogni triangolo e' cateto1xcateto2 : 2 che poi devi moltiplicare per 4, l'area del rombo sara' semplicemente il doppio del prodotto dei cateti :)

Puoi concluderlo come meglio credi :)