3 Problemi di Geometria

[IlGuista]

1) Un trapezio isoscele è circoscritto ad una circonferenza il cui raggio misura r. Determinare le misure delle basi del trapezio sapendo che gli angoli acuti sono ampi 45°. [2r (rad2 - 1), 2r (rad2 + 1)]

2) Un trapezio isoscele è circoscritto ad una circonferenza il cui raggio misura r; i suoi angoli acuti sono ampi 60°. Determinare le misure delle parti in cui ognuno dei lati non paralleli è diviso dal punto di contatto. [r rad3, r rad3/3]

3) Nel triangolo ABC, rettangolo in C, l'altezza CH misura 120cm e la proiezione del cateto AC sull'ipotenusa misura 90cm. Una retta parallela all'ipotenusa AB e distante 20cm dal vertice C interseca i cateti AC e BC rispettivamente in P e Q. Verificare che il trapezio PQBA è circoscrivibile ad una circonferenza.

grazie mille in anticipo

[ciampax]

Comincio dai primi due!

In entrambi gli esercizi, indico con

[math]B,b[/math]

le basi maggiore e minore e con

[math]l[/math]

il lato obliquo. In entrambi i casi, inoltre, l'altezza del trapezio risulta

[math]h=2r[/math]

, visto che coincide con il diametro del cerchio inscritto. Ti ricordo, infine, due cose:

se un trapezio è circoscritto, allora si ha

[math]2l=B+b[/math]

se indichi con

[math]a[/math]

la parte che viene tagliata dall'altezza sulla base maggiore, allora

[math]B=2a+b[/math]

.


Bene ora risolviamo i due esercizi.

Problema 1)
Visto che l'angolo alla base maggiore è di

[math]45°[/math]

, ne segue che il triangolo rettangolo che ha come ipotenusa il lato obliquo e come uno dei cateti l'altezza è anche i soscele, quindi

[math]a=h=2r[/math]

. Ora

[math]l=h\sqrt{2}=2r\sqrt{2}[/math]

e quindi

[math]2l=B+b=2b+2a\Rightarrow b=l-a=2r(\sqrt{2}-1)[/math]

e

[math]B=2a+b=4r+2r(\sqrt{2}-1)=2r(\sqrt{2}+1)[/math]

Problema 2)
Questa volta l'angolo alla base è di

[math]60^à[/math]

, quindi il triangolo rettangolo che ha come ipotenusa il lato obliquo e come cateto l'altezza del trapezio è la metà di un triangolo equilatero. Ne segue che

[math]a=l/2[/math]

ed essendo

[math]h=\sqrt{3}l/2[/math]

si ha

[math]l=(2\sqrt{3}h)/3=(4\sqrt{3}r)/3[/math]

. Indichiamo con

[math]x[/math]

la parte superiore in cui viene diviso il lato obliquo (quindi l'altra parte sarà

[math]l-x[/math]

) e tracciamo i segmenti che vanno dal centro della circonferenza ai vertici del trapezio adiacenti al lato obliquo. In questo modo metà trapezio sarà tagliato in quattro triangoli rettangoli, due adiacenti al lato obliquo, gli altri due che hanno un cateto in comune con le basi del trapezio.

Indica con

[math]\alpha,\beta[/math]

i due segmenti, rispettivamente quello che delimita il triangolo con cateto la base maggiore e quello che delimita il triangolo con cateto la base maggiore. Fatto questo, dovresti avere (se la figura che hai è come quella che ti ho spiegato)

[math]\alpha^2=(l-x)^2+r^2,\qquad \beta^2=x^2+r^2[/math]

Inoltre

[math]\alpha^2=(b/2+l/2)^2+r^2,\qquad \beta^2=(b/2)^2+r^2[/math]

da cui

[math](b/2+l/2)^2=(l-x)^2+r^2-r^2=(l-x)^2\Rightarrow b+l=2(l-x)[/math]

[math] (b/2)=x^2+r^2-r^2=x^2\Rightarrow b=2x[/math]

e quindi

[math]2x+l=2l-2x\Rightarrow x=l/4=\sqrt{3}r/3[/math]

L'altra parte è allora

[math]l-x=\sqrt{3}r[/math]

.



Spero sia tutto chiaro.

[minimo]

un giorno posteranno un intero libro di esercizi :lol