2 problemi di geometria (38680)

[impar0]

1) Determinare l'equazione della circonferenza con diametro AB A(-4;0) B(0;4) e l'equazione della parabola con vertice in B e passante per A.

2)Scrivere l'equazione della circonferenza tangente in O alla retta y=2x e passante per A(2;0); determinare l'equazione della parabola con asse di simmetria all'asse y con vertice nel centro C della circonferenza e passante per O.

Aiutatemi con questi 2 problemi grazie in aticipo.

[BIT5]

L' equazione canonica della circonferenza e':

[math] x^2+y^2+ax+by+c=0 [/math]

Tu sai che il diametro e AB. Quindi la circonferenza passa per gli estremi del diametro (quindi sostituisci alla circonferenza generica le coordinate del punto)

Infine sai che il raggio e' la meta' del diametro.

La lunghezza del diametro e' la distanza tra i due punti:

[math] \bar{AB} = \sqrt{ (-4-0)^2+(0-4)^2}= \sqrt{32} = 4 \sqrt2 [/math]

Quindi il raggio sara' la sua meta'

[math] 2 \sqrt2 [/math]

anziche' utilizzare il raggio, pero', ti consiglio di calcolarti il centro della circonferenza (che sara' il punto medio degli estremi del diametro, e quindi

[math] x_m = \frac{-4+0}{2} = -2 \ \ y_m= \frac{0+4}{2} = 2 [/math]

Quindi sai che, ricordando le coordinate del centro di una circonferenza

[math] x_c= - \frac{a}{2} = -2 \to a=4 [/math]

[math] y_c= - \frac{b}{2} = 2 \to b=-4 [/math]

Sostituisci all'equazione generica della circonferenza

[math] x^2+y^2+4x-4y+c=0 [/math]

Ora poni che la circonferenza passi per A (o per B, come vuoi)

faccio con la condizione di appartenenza di A

[math] (-4)^2+0^2+4(-4)-4 (0) + c = 0 \to c= 0 [/math]

la circonferenza sara'

[math] x^2+y^2+4x-4y=0 [/math]

La parabola che ha vertice in B avra' analogamente (ricordando l'equazione generica della parabola

[math] y= ax^2+bx+c [/math]

[math] x_v= - \frac{b}{2a} = 0 \to b=0 [/math]

[math] y_v= - \frac{ \Delta}{4a}= - \frac{b^2-4ac}{4a} [/math]

sapendo che b=0

[math] - \frac{0-4ac}{4a} = c [/math]

che dev'essere 4, quindi

[math] c=4[/math]

La parabola sara' quindi

[math] y=ax^2+4 [/math]

Per trovare a poniamo la condizione che la parabola passi per A:

[math] 0=a (-4)^2+4 \to 16a+4=0 \to a= - \frac14 [/math]

la parabola sara' dunque

[math] y= - \frac14 x^2-4 [/math]

Se e' chiaro vediamo il secondo (che poi e' analogo a questo, ricordando solo che se la retta e' tangente alla circonferenza allora i punti di intersezione tra circonferenza e retta saranno due punti coincidenti, ovvero uno solo..)