2 incertezze sui polinomi
Ho trovato questi due esercizi al termine del capitolo sulle operazioni coi polinomi (se è utile preciso che non sono ancora introdotti Ruffini e le tecniche di scomposizione in genere ma solo l’algoritmo della divisione).
Questa è la divisione
($2a^6$ + $5a^3*b^3 $-$7$$a^2*b^4$ + $a$$b^6$)/($2$$a^4$-$a^2*b^2$+$2ab^3$$-$$3$$b^4$$)
Il testo mi da come risultato
q(a,b)=$a^2$+$1/2*b^2$; r(a,b)=$3$$a^3*b^3$ - $7/2*a^2*b^4$+$4a$$b^5$+$15/2*b^6$
1°)Riguardo a questo esercizio non ho problemi a giungere al risultato mediate l’algoritmo della divisione ma ho dei dubbi circa la validità del risultato raggiunto.
Il testo non parla mai della divisione fra polinomi in due variabili ma mi pare che qui di questo si tratti.
Mi chiedo, e vi chiedo, se è ammissibile il resto nel quale la lettera $b$, che mi sembra trattata come variabile, ha grado maggiore che nel divisore.
2°)Il secondo esercizio è questo:
Se $n$ è un qualsiasi numero naturale, perché $n^3-n$ è sempre un numero divisibile per 3?
Scomponendolo in $(n-1)(n)(n+1)$
Mi è venuto un dubbio: l’espressione scomposta non corrisponde a quella di partenza poiché non è definita per n=0 mentre la prima lo è. Per questo particolare valore si può fare separata verifica e ottenere la dimostrazione cercata (almeno credo).
La questione, più in generale, è: quando si scompone un polinomi (in N) si deve tenere conto di questo fatto? Come ci si comporta? Vanno esclusi questi valori e ridefiniti singolarmente?
Un’ultima questione forse collegata.
Sempre nei naturali ha senso scrivere
$7-8+2=7+2-8 ?$
Mi sembra di no (forse perché si considera la sottrazione come somma algebrica e si utilizzano le proprietà della somma in Z) ma non mi sono mai accorto del divieto.
Grazie a tutti.
Questa è la divisione
($2a^6$ + $5a^3*b^3 $-$7$$a^2*b^4$ + $a$$b^6$)/($2$$a^4$-$a^2*b^2$+$2ab^3$$-$$3$$b^4$$)
Il testo mi da come risultato
q(a,b)=$a^2$+$1/2*b^2$; r(a,b)=$3$$a^3*b^3$ - $7/2*a^2*b^4$+$4a$$b^5$+$15/2*b^6$
1°)Riguardo a questo esercizio non ho problemi a giungere al risultato mediate l’algoritmo della divisione ma ho dei dubbi circa la validità del risultato raggiunto.
Il testo non parla mai della divisione fra polinomi in due variabili ma mi pare che qui di questo si tratti.
Mi chiedo, e vi chiedo, se è ammissibile il resto nel quale la lettera $b$, che mi sembra trattata come variabile, ha grado maggiore che nel divisore.
2°)Il secondo esercizio è questo:
Se $n$ è un qualsiasi numero naturale, perché $n^3-n$ è sempre un numero divisibile per 3?
Scomponendolo in $(n-1)(n)(n+1)$
Mi è venuto un dubbio: l’espressione scomposta non corrisponde a quella di partenza poiché non è definita per n=0 mentre la prima lo è. Per questo particolare valore si può fare separata verifica e ottenere la dimostrazione cercata (almeno credo).
La questione, più in generale, è: quando si scompone un polinomi (in N) si deve tenere conto di questo fatto? Come ci si comporta? Vanno esclusi questi valori e ridefiniti singolarmente?
Un’ultima questione forse collegata.
Sempre nei naturali ha senso scrivere
$7-8+2=7+2-8 ?$
Mi sembra di no (forse perché si considera la sottrazione come somma algebrica e si utilizzano le proprietà della somma in Z) ma non mi sono mai accorto del divieto.
Grazie a tutti.
Risposte
Avete insinuato un dubbio in me 
Si può parlare di "successivo" anche per elementi di $ZZ$?
Si può parlare di "successivo" anche per elementi di $ZZ$?
"silente":
Ciao Pippo
Non so se questi ti possano andare bene; sono tutti del tipo “dimostrare che”:
1) la differenza dei quadrati di due numeri dispari è un numero dispari
2) Il cubo della somma di due numeri pari è un numero pari
3) la differenza dei cubi di due multipli di k (k appartiene ad N) è un multiplo di k
4) La somma dei cubi di due numeri dispari è un numero pari
Se ti sembrano troppo facili puoi provare con questo. Non è proprio simile ma a me è sembrato carino:
Siano $a,b,c$ tre numeri reali distinti e sia $p(x)$ un polinomio a coefficienti reali.
Sapendo che:
1) $p(x)$ diviso per $(x-a)$ dà resto $a$
2) $p(x)$ diviso per $(x-b)$ dà resto $b$
3) $p(x)$ diviso per $(x-c)$ dà resto $c$
determina il polinomio $r(x)$ che si ottiene dalla divisione di $p(x)$ per $(x-a)(x-b)(x-c)$
Ciao
sinceramente l'ultimo problema non sono riuscito a risolverlo, me lo potresti spiegare?
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