2 incertezze sui polinomi
Ho trovato questi due esercizi al termine del capitolo sulle operazioni coi polinomi (se è utile preciso che non sono ancora introdotti Ruffini e le tecniche di scomposizione in genere ma solo l’algoritmo della divisione).
Questa è la divisione
($2a^6$ + $5a^3*b^3 $-$7$$a^2*b^4$ + $a$$b^6$)/($2$$a^4$-$a^2*b^2$+$2ab^3$$-$$3$$b^4$$)
Il testo mi da come risultato
q(a,b)=$a^2$+$1/2*b^2$; r(a,b)=$3$$a^3*b^3$ - $7/2*a^2*b^4$+$4a$$b^5$+$15/2*b^6$
1°)Riguardo a questo esercizio non ho problemi a giungere al risultato mediate l’algoritmo della divisione ma ho dei dubbi circa la validità del risultato raggiunto.
Il testo non parla mai della divisione fra polinomi in due variabili ma mi pare che qui di questo si tratti.
Mi chiedo, e vi chiedo, se è ammissibile il resto nel quale la lettera $b$, che mi sembra trattata come variabile, ha grado maggiore che nel divisore.
2°)Il secondo esercizio è questo:
Se $n$ è un qualsiasi numero naturale, perché $n^3-n$ è sempre un numero divisibile per 3?
Scomponendolo in $(n-1)(n)(n+1)$
Mi è venuto un dubbio: l’espressione scomposta non corrisponde a quella di partenza poiché non è definita per n=0 mentre la prima lo è. Per questo particolare valore si può fare separata verifica e ottenere la dimostrazione cercata (almeno credo).
La questione, più in generale, è: quando si scompone un polinomi (in N) si deve tenere conto di questo fatto? Come ci si comporta? Vanno esclusi questi valori e ridefiniti singolarmente?
Un’ultima questione forse collegata.
Sempre nei naturali ha senso scrivere
$7-8+2=7+2-8 ?$
Mi sembra di no (forse perché si considera la sottrazione come somma algebrica e si utilizzano le proprietà della somma in Z) ma non mi sono mai accorto del divieto.
Grazie a tutti.
Questa è la divisione
($2a^6$ + $5a^3*b^3 $-$7$$a^2*b^4$ + $a$$b^6$)/($2$$a^4$-$a^2*b^2$+$2ab^3$$-$$3$$b^4$$)
Il testo mi da come risultato
q(a,b)=$a^2$+$1/2*b^2$; r(a,b)=$3$$a^3*b^3$ - $7/2*a^2*b^4$+$4a$$b^5$+$15/2*b^6$
1°)Riguardo a questo esercizio non ho problemi a giungere al risultato mediate l’algoritmo della divisione ma ho dei dubbi circa la validità del risultato raggiunto.
Il testo non parla mai della divisione fra polinomi in due variabili ma mi pare che qui di questo si tratti.
Mi chiedo, e vi chiedo, se è ammissibile il resto nel quale la lettera $b$, che mi sembra trattata come variabile, ha grado maggiore che nel divisore.
2°)Il secondo esercizio è questo:
Se $n$ è un qualsiasi numero naturale, perché $n^3-n$ è sempre un numero divisibile per 3?
Scomponendolo in $(n-1)(n)(n+1)$
Mi è venuto un dubbio: l’espressione scomposta non corrisponde a quella di partenza poiché non è definita per n=0 mentre la prima lo è. Per questo particolare valore si può fare separata verifica e ottenere la dimostrazione cercata (almeno credo).
La questione, più in generale, è: quando si scompone un polinomi (in N) si deve tenere conto di questo fatto? Come ci si comporta? Vanno esclusi questi valori e ridefiniti singolarmente?
Un’ultima questione forse collegata.
Sempre nei naturali ha senso scrivere
$7-8+2=7+2-8 ?$
Mi sembra di no (forse perché si considera la sottrazione come somma algebrica e si utilizzano le proprietà della somma in Z) ma non mi sono mai accorto del divieto.
Grazie a tutti.
Risposte
"silente":
Ho trovato questi due esercizi al termine del capitolo sulle operazioni coi polinomi (se è utile preciso che non sono ancora introdotti Ruffini e le tecniche di scomposizione in genere ma solo l’algoritmo della divisione).
Questa è la divisione
($2a^6$ + $5a^3*b^3 $-$7$$a^2*b^4$ + $a$$b^6$)/($2$$a^4$-$a^2*b^2$+$2ab^3$$-$$3$$b^4$$)
Il testo mi da come risultato
q(a,b)=$a^2$+$1/2*b^2$; r(a,b)=$3$$a^3*b^3$ - $7/2*a^2*b^4$+$4a$$b^5$+$15/2*b^6$
1°)Riguardo a questo esercizio non ho problemi a giungere al risultato mediate l’algoritmo della divisione ma ho dei dubbi circa la validità del risultato raggiunto.
Il testo non parla mai della divisione fra polinomi in due variabili ma mi pare che qui di questo si tratti.
Mi chiedo, e vi chiedo, se è ammissibile il resto nel quale la lettera $b$, che mi sembra trattata come variabile, ha grado maggiore che nel divisore.
Per caso nella traccia che avvia gli esercizi c'è scritto divisione tra polinomi a coefficienti letterali?
Perché questo mi pare il tipico caso dove una lettera è assunta come variabile del polinomio e l'altra come coefficiente parametrico.
"silente":
2°)Il secondo esercizio è questo:
Se $n$ è un qualsiasi numero naturale, perché $n^3-n$ è sempre un numero divisibile per 3?
Scomponendolo in $(n-1)(n)(n+1)$
Mi è venuto un dubbio: l’espressione scomposta non corrisponde a quella di partenza poiché non è definita per n=0 mentre la prima lo è. Per questo particolare valore si può fare separata verifica e ottenere la dimostrazione cercata (almeno credo).
La questione, più in generale, è: quando si scompone un polinomi (in N) si deve tenere conto di questo fatto? Come ci si comporta? Vanno esclusi questi valori e ridefiniti singolarmente?
Questo si prova per induzione su $n$:
1) $n=0 => n^3 - n = 0^3 - 0 = 0 => 3|0$
2) supposto che sia vero il fatto per $n$, si ha che vale, per detto $n$, che $3|n^3 - n$. Si vuole provare che $3|(n+1)^3 - (n +1)$. Dunque si noti che:
$(n+1)^3 - (n+1)= n^3 + 3n^2 + 3n + 1 - n - 1 = n^3 - n + 3n(n+1)$
Per ipotesi induttiva, $3|n^3 - n$, dunque resta da provare che $3|3n(n+1)$: essendo, ovviamente, $3|3$ si perviene alla tesi.
Quanto al dubbio sulla scomposizione, credo che si debba tenere conto dell'insieme cui appartengono le variabili del polinomio: se $n \in NN$ allora $n^3>=n$ e questo comporta che $n^3 - n$ è definita in $NN$ ed in questo insieme ha valore, cioè $n^3 - n \in NN$, mentre $(n-1)(n)(n+1)$ no. Questo però nell'ipotesi che si assuma che $0 \in NN$: se infatti la convenzione è che $0 \notin NN$ la scomposizione è valida.
"silente":
Un’ultima questione forse collegata.
Sempre nei naturali ha senso scrivere
$7-8+2=7+2-8 ?$
Mi sembra di no (forse perché si considera la sottrazione come somma algebrica e si utilizzano le proprietà della somma in Z) ma non mi sono mai accorto del divieto.
Grazie a tutti.
Non credo che si possa fare. Addizioni e sottrazioni si eseguono nell'ordine in cui si presentano a meno delle parentesi: dunque $7-8$ in $NN$ non è definita. In $ZZ$, essendo la sottrazione un surrogato della somma, puoi.
"silente":
Mi chiedo, e vi chiedo, se è ammissibile il resto nel quale la lettera $b$, che mi sembra trattata come variabile, ha grado maggiore che nel divisore.
Quando in una divisione tra polinomi compaiono due lettere, una di queste è utilizzata come variabile e l'altra come parametro.
Il problema va, naturalmente, risolto rispetto alla variabile. Se non è specificato niente si considera come variabile quella rispetto alla quale sono ordinati i polinomi, quindi, in questo caso, la $a$.
"silente":
Se $n$ è un qualsiasi numero naturale, perché $n^3-n$ è sempre un numero divisibile per 3? Scomponendolo in $(n-1)(n)(n+1)$
Mi è venuto un dubbio: l’espressione scomposta non corrisponde a quella di partenza poiché non è definita per n=0 mentre la prima lo è. Per questo particolare valore si può fare separata verifica e ottenere la dimostrazione cercata (almeno credo).
La questione, più in generale, è: quando si scompone un polinomi (in N) si deve tenere conto di questo fatto? Come ci si comporta? Vanno esclusi questi valori e ridefiniti singolarmente?
Sono d'accordo, per essere corretti bisognerebbe risolvere a parte i casi in cui la scomposizione in $NN$ non è definita, anche se di solito non lo si fa perché l'ipotesi è $n in NN$ e non $(n-1)(n)(n+1) in NN$, quindi anche se per risolvere il problema si esce dai naturali, alla fine nella soluzione si rientra.
"silente":
Un’ultima questione forse collegata.
Sempre nei naturali ha senso scrivere $7-8+2=7+2-8 ?$
Nei numeri naturali questa operazione non ha significato, mescola due operazioni diverse di cui una sola commutativa.
In $ZZ$ è tutta un'altra cosa in quanto fa riferimento all'unica operazione che è la somma algebrica.
WiZaRd ha scritto:
E amelia
Innazitutto grazie.
Altri esercizi nel testo contengono delle lettere come coefficienti ma non credo che, nelle intenzioni dell'autore, questo sia uno di quelli.
Notate come la soluzione dia due polinomi p(a,b) ed r(a,b) anzichè, p(a) ed r(a) come si dovrebbe nel caso in cui b fosse un parametro e come infatti è data in altri esercizi con parametri.
P.S. Tanto per dire: Il testo è MultiFormat di Maraschini Palma.
Ancora amelia
Non ho capito
Ti riferisci a questo caso particolare (non ho capito comunque 
) o è una affermazione generale?
Grazie ancora
Per caso nella traccia che avvia gli esercizi c'è scritto divisione tra polinomi a coefficienti letterali?
Perché questo mi pare il tipico caso dove una lettera è assunta come variabile del polinomio e l'altra come coefficiente parametrico.
E amelia
Quando in una divisione tra polinomi compaiono due lettere, una di queste è utilizzata come variabile e l'altra come parametro.
Il problema va, naturalmente, risolto rispetto alla variabile. Se non è specificato niente si considera come variabile quella rispetto alla quale sono ordinati i polinomi, quindi, in questo caso, la .
Innazitutto grazie.
Altri esercizi nel testo contengono delle lettere come coefficienti ma non credo che, nelle intenzioni dell'autore, questo sia uno di quelli.
Notate come la soluzione dia due polinomi p(a,b) ed r(a,b) anzichè, p(a) ed r(a) come si dovrebbe nel caso in cui b fosse un parametro e come infatti è data in altri esercizi con parametri.
P.S. Tanto per dire: Il testo è MultiFormat di Maraschini Palma.
Ancora amelia
, quindi anche se per risolvere il problema si esce dai naturali, alla fine nella soluzione si rientra.
Non ho capito
Ti riferisci a questo caso particolare (non ho capito comunque ) o è una affermazione generale?Grazie ancora
Il secondo esercizio è uno di quelli che fa giustamente pensare subito all'induzione.
In realtà nota che in questo caso bastava una considerazione semplice: il valore
$(n-1)*n*(n+1)$ altro non è che il prodotto di tre numeri consecutivi. E' ovvio che almeno uno deve essere multiplo di tre, infatti se osservi i naturali in successione ti accorgi che è impossibile avere tre numeri consecutivi di cui nessuno è multiplo di $3$
Ciao.
In realtà nota che in questo caso bastava una considerazione semplice: il valore
$(n-1)*n*(n+1)$ altro non è che il prodotto di tre numeri consecutivi. E' ovvio che almeno uno deve essere multiplo di tre, infatti se osservi i naturali in successione ti accorgi che è impossibile avere tre numeri consecutivi di cui nessuno è multiplo di $3$
Ciao.
"silente":
Ancora amelia, quindi anche se per risolvere il problema si esce dai naturali, alla fine nella soluzione si rientra.
Non ho capito
Grazie ancora
Forse mi spiego meglio con un esempio:
per risolvere un'equazione di terzo grado usando le formule di Cardano, quando gli zeri sono tutti reali si ottengono nei primi passaggi radici complesse che poi si semplificano, le soluzioni finali sono comunque dei numeri reali. Per risolvere un'equazioni a soluzioni reali si passa attraverso i numeri complessi, ma non per questo il metodo risolutivo può considerarsi non valido. Quindi intendevo in generale, non è fondamentale che tu rimanga nell'insieme per risovere l'esercizio, ma è fondamntale che ci ritorni alla fine.
Per quanto riguarda le divisioni osserva che ho scritto "una di queste è utilizzata come variabile e l'altra come parametro" e non "una di queste è la variabile e l'altra il parametro", non di meno l'autore avrebbe dovuto specificare che quel risultato riguardava la divisione fatta rispetto alla variabile $a$, se la divisione fosse stata fatta rispetto alla variabile $b$ il quoziente e il resto sarebbero stati diversi.
Quando insegno queste cose ai miei studenti metto sempre in evidenza il fatto che le due divisioni, quella fatta rispetto alla prima variabile e quella fatta rispetto alla seconda, danno lo stesso quoziente solo quando il resto è nullo.
Solo per mettere a fuoco
amelia
Mi hai detto una cosa terribile e infausta. Ho capito come si fa ma non ho idea del motivo per cui si possa (o non si possa) fare. Vivido esempio di appreso e non compreso. Sing
Ma allora non è anche vero che (in N)
$7-8+2=7+2-8$
anche se 7-8 non è definita visto che ci ritorno alla fine?
P.s. Un chiarimento. La scrittura P(a,b) non indica un polinomio in 2 varialbili?
Scusa Amelia se approfitto un poco della tua gentilezza. Grazie
[/quote]
amelia
Quindi intendevo in generale, non è fondamentale che tu rimanga nell'insieme per risovere l'esercizio, ma è fondamntale che ci ritorni alla fine.
Mi hai detto una cosa terribile e infausta. Ho capito come si fa ma non ho idea del motivo per cui si possa (o non si possa) fare. Vivido esempio di appreso e non compreso. Sing
Ma allora non è anche vero che (in N)
$7-8+2=7+2-8$
anche se 7-8 non è definita visto che ci ritorno alla fine?
P.s. Un chiarimento. La scrittura P(a,b) non indica un polinomio in 2 varialbili?
Scusa Amelia se approfitto un poco della tua gentilezza. Grazie
[/quote]
Forse ho capito (almeno in parte).
Dici questo?
Sia data una congettura che non è possibile dimostrare in N e che invece possa essere dimostrata in un altro insieme (ad esempio Z) che lo contenga (magari grazie a certe proprietà valide in Z e non in N).*
Se per ogni valore di partenza di N (qui sottoinsieme di Z di cui utilizzeremo le proprietà) la congettura è dimostrata si dice che il teorema è dimostrato in N.
Si assume quindi questo assunto:
Una proposizione si dice dimostrata in N se è dimostrata in un’insieme che lo contenga. *
Questo “atteggiamento” mi pare più fattivo che formalmente giustificato. Qui devo confessare che oltre che ignorante in materia sono di indole così dubbiosa da divenire spesso polemica e mene scuso con tutti i miei interlocutori più disponibili e gentili di me.
Io avrei detto (mi sembra "più giusto") che quella proposizione è dimostrata in un sottoinsieme (N) di Z.
Grazie. Anzi, almeno il doppio.
*questo non è necessario ma credo di esserne consapevole.
Dici questo?
Sia data una congettura che non è possibile dimostrare in N e che invece possa essere dimostrata in un altro insieme (ad esempio Z) che lo contenga (magari grazie a certe proprietà valide in Z e non in N).*
Se per ogni valore di partenza di N (qui sottoinsieme di Z di cui utilizzeremo le proprietà) la congettura è dimostrata si dice che il teorema è dimostrato in N.
Si assume quindi questo assunto:
Una proposizione si dice dimostrata in N se è dimostrata in un’insieme che lo contenga. *
Questo “atteggiamento” mi pare più fattivo che formalmente giustificato. Qui devo confessare che oltre che ignorante in materia sono di indole così dubbiosa da divenire spesso polemica e mene scuso con tutti i miei interlocutori più disponibili e gentili di me.
Io avrei detto (mi sembra "più giusto") che quella proposizione è dimostrata in un sottoinsieme (N) di Z.
Grazie. Anzi, almeno il doppio.
*questo non è necessario ma credo di esserne consapevole.
Vedo che hai capito, ne sono contenta.
Invece nella proprietà commutativa della somma algebrica la cosa non va perché è il testo dell'esercizio a non essere definito in $NN$
Se l'esercizio fosse stato $7+2-8$ e per fare il calcolo tu avessi fatto $7-8+2=-1+2=1$ allora il problema poteva essere considerato corretto.
Il fatto che il testo non sia definito in $NN$ non ti permette di procedere.
Infine P(a,b) significa polinomio nelle variabili a e b, ma anche l'equazione $x^2-4xy+3y^2=0$ è un'equazione in due variabili, però nessuno mi impedisce di ricavarmi la $x$ con la formula risolutiva utilizzando la $y$ come se fosse una costante. La y nell'equazione non è una costante, ma per fare il calcolo la uso come se lo fosse.
Ciao
Amelia
Invece nella proprietà commutativa della somma algebrica la cosa non va perché è il testo dell'esercizio a non essere definito in $NN$
Se l'esercizio fosse stato $7+2-8$ e per fare il calcolo tu avessi fatto $7-8+2=-1+2=1$ allora il problema poteva essere considerato corretto.
Il fatto che il testo non sia definito in $NN$ non ti permette di procedere.
Infine P(a,b) significa polinomio nelle variabili a e b, ma anche l'equazione $x^2-4xy+3y^2=0$ è un'equazione in due variabili, però nessuno mi impedisce di ricavarmi la $x$ con la formula risolutiva utilizzando la $y$ come se fosse una costante. La y nell'equazione non è una costante, ma per fare il calcolo la uso come se lo fosse.
Ciao
Amelia
salve, vorrei chiedervi un favore: se avete altri esercizi come il 2° di Silente (dimostrare che ...) in particolare riguardanti i polinomi e le scomposizioni, me li potreste postare? Vi ringrazio dell'attenzione
"pippo93":
salve, vorrei chiedervi un favore: se avete altri esercizi come il 2° di Silente (dimostrare che ...) in particolare riguardanti i polinomi e le scomposizioni, me li potreste postare? Vi ringrazio dell'attenzione
Dimostrare che l'espressione
$7k^3+5k$ è sempre un multiplo di sei, con $k$ intero.
"Steven":
[quote="pippo93"]salve, vorrei chiedervi un favore: se avete altri esercizi come il 2° di Silente (dimostrare che ...) in particolare riguardanti i polinomi e le scomposizioni, me li potreste postare? Vi ringrazio dell'attenzione
Dimostrare che l'espressione
$7k^3+5k$ è sempre un multiplo di sei, con $k$ intero.[/quote]
credo di averlo dimostrato con l'induzione:
sappiamo che $7k^3+5k$ è un multiplo di 6 con k=1. Ora, basta dimostrare che se è vera per k deve essere vera anche per k+1, quindi: $7(k+1)^3+5(k+1)=7 k^3+21 k^2+26 k+12$ se supponiamo che $7k^3+5k$ sia un multiplo di 6 allora
sottraendo $7k^3+5k$ a $7 k^3+21 k^2+26 k+12$, se quest ultimo è un multiplo di 6 resterà un multiplo di 6, se non lo è non lo sarà quindi, $7 k^3+21 k^2+26 k+12-7k^3-5k=21 k^2+21 k+12=3 (7 k^2+7 k+4)$ che deve essere multiplo di 6 in quanto $(7 k^2+7 k+4)$ è per forza pari e $3*2n=6n$. Quindi è stato dimostrato (almeno credo) per induzione, ma c'era un metodo più semplice?
Ciao Pippo
Non so se questi ti possano andare bene; sono tutti del tipo “dimostrare che”:
1) la differenza dei quadrati di due numeri dispari è un numero dispari
2) Il cubo della somma di due numeri pari è un numero pari
3) la differenza dei cubi di due multipli di k (k appartiene ad N) è un multiplo di k
4) La somma dei cubi di due numeri dispari è un numero pari
Se ti sembrano troppo facili puoi provare con questo. Non è proprio simile ma a me è sembrato carino:
Siano $a,b,c$ tre numeri reali distinti e sia $p(x)$ un polinomio a coefficienti reali.
Sapendo che:
1) $p(x)$ diviso per $(x-a)$ dà resto $a$
2) $p(x)$ diviso per $(x-b)$ dà resto $b$
3) $p(x)$ diviso per $(x-c)$ dà resto $c$
determina il polinomio $r(x)$ che si ottiene dalla divisione di $p(x)$ per $(x-a)(x-b)(x-c)$
Ciao
Non so se questi ti possano andare bene; sono tutti del tipo “dimostrare che”:
1) la differenza dei quadrati di due numeri dispari è un numero dispari
2) Il cubo della somma di due numeri pari è un numero pari
3) la differenza dei cubi di due multipli di k (k appartiene ad N) è un multiplo di k
4) La somma dei cubi di due numeri dispari è un numero pari
Se ti sembrano troppo facili puoi provare con questo. Non è proprio simile ma a me è sembrato carino:
Siano $a,b,c$ tre numeri reali distinti e sia $p(x)$ un polinomio a coefficienti reali.
Sapendo che:
1) $p(x)$ diviso per $(x-a)$ dà resto $a$
2) $p(x)$ diviso per $(x-b)$ dà resto $b$
3) $p(x)$ diviso per $(x-c)$ dà resto $c$
determina il polinomio $r(x)$ che si ottiene dalla divisione di $p(x)$ per $(x-a)(x-b)(x-c)$
Ciao
@silente
Il polinomio $r(x)$ è da intendersi come polnomio quoziente della divisione (credo sia difficile!) o come polinomio resto della divisione (credo sia più probabile!)
P.S.
Chiedo scusa se ho fanno una domanda imbrcille
Il polinomio $r(x)$ è da intendersi come polnomio quoziente della divisione (credo sia difficile!) o come polinomio resto della divisione (credo sia più probabile!)
P.S.
Chiedo scusa se ho fanno una domanda imbrcille
Quindi è stato dimostrato (almeno credo) per induzione, ma c'era un metodo più semplice?
La dimostrazione è corretta.
Un modo più semplice era questo.
$7k^3+5k=(6k^3+6k)+(k^3-k)$
La prima parentesi è ovviamente un multiplo di sei, la seconda pure:, in base a quanto dicevo prima: infatti è scomponibile
così $(k-1)*k*(k+1)$, è evidente che prendendo a caso tre numeri consecutivi uno è multiplo di $3$. Inoltre un altro dei tre, che sia lo stesso o meno, è pure sicuramente pari, pertanto $(k-1)*k*(k+1)=6b$.
Ciao
Ciao WiZaRd
$r(x)$ è il resto.
$r(x)$ è il resto.
"Steven":
è evidente che prendendo a caso tre numeri consecutivi uno è multiplo di $3$
Non vorrei sembrare antipatico, ma se prendo $0,1,2$ non è presente alcun multiplo di $3$.
@silente
Thanks.
"WiZaRd":
[quote="Steven"]è evidente che prendendo a caso tre numeri consecutivi uno è multiplo di $3$
Non vorrei sembrare antipatico, ma se prendo $0,1,2$ non è presente alcun multiplo di $3$.
[/quote]
Nell'insieme dei numeri naturali h è un multiplo di k se esiste un numero naturale n tale che $h=n*k$, se $0 in NN$ allora 0 è multiplo di ciascun numero naturale, perché $0=0*k$
se, invece, ritieni $0 !in NN$ allora non lo puoi usare e non puoi prendere la terna $0,1,2$.
Ciao
@amelia
Concordo con il discorso che hai fatto, però nessuno ha detto che $k \in \mathbb{N}$.
Concordo con il discorso che hai fatto, però nessuno ha detto che $k \in \mathbb{N}$.
"Steven":
Dimostrare che l'espressione
$7k^3+5k$ è sempre un multiplo di sei, con $k$ intero.
"Steven":
è evidente che prendendo a caso tre numeri consecutivi uno è multiplo di $3$
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