2 domandine di analisi...
Eccomi di nuovo qua per stressarvi con le mie domande... Come state? Spero sia tutto OK! 
Comunque volevo chiedervi due cose di analisi: innanzi tutto, quand'è che una funzione si dice lineare? (
...vi prego non scoppiate a ridere...): può sembrare banale e, fino a ieri, ero convinto che una funzione fosse lineare quando rappresentava una retta, cioè quando la sua equazione era di primo grado. Poi ieri sfogliando un libro, ho letto che una funzione f(x) si dice lineare se f(a+b)=f(a)+f(b) dove a e b sono due numeri reali. Purtroppo però se prendo la funzione
f(x): y=2x+1, (che pensavo fosse lineare) a=1 e b=2 guardate cosa capita: f(1)=3; f(2)=5 e f(1+2)=f(3)=7 che è diverso da f(1)+f(2)=3+5=8. Dove sbaglio? Dov'è l'errore?
E poi, volevo chiedere se c'è qualche anima pia che può spiegarmi brevemente (giusto cosa sono e come si risolvono quelle più semplici) le equazioni differenziali alle derivate parziali (so che questa domanda è un po'azzardata perchè è un argomento abbastanza complesso, comunque vi ringrazio lo stesso).
Ringraziandovi per la vostra attenzione e pazienza (
sempre come il limite di 1/x per x ->0, cioè infinita!!), vi saluto.
Paolo90
Comunque volevo chiedervi due cose di analisi: innanzi tutto, quand'è che una funzione si dice lineare? (
...vi prego non scoppiate a ridere...): può sembrare banale e, fino a ieri, ero convinto che una funzione fosse lineare quando rappresentava una retta, cioè quando la sua equazione era di primo grado. Poi ieri sfogliando un libro, ho letto che una funzione f(x) si dice lineare se f(a+b)=f(a)+f(b) dove a e b sono due numeri reali. Purtroppo però se prendo la funzionef(x): y=2x+1, (che pensavo fosse lineare) a=1 e b=2 guardate cosa capita: f(1)=3; f(2)=5 e f(1+2)=f(3)=7 che è diverso da f(1)+f(2)=3+5=8. Dove sbaglio? Dov'è l'errore?
E poi, volevo chiedere se c'è qualche anima pia che può spiegarmi brevemente (giusto cosa sono e come si risolvono quelle più semplici) le equazioni differenziali alle derivate parziali (so che questa domanda è un po'azzardata perchè è un argomento abbastanza complesso, comunque vi ringrazio lo stesso).
Ringraziandovi per la vostra attenzione e pazienza (
sempre come il limite di 1/x per x ->0, cioè infinita!!), vi saluto. Paolo90
Risposte
Mamma mia, pazzesco, hai [size=167]15[/size] anni e già parli
di equazioni differenziali a derivate parziali!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Quanto alle funzioni lineari, non mi sembra di aver mai letto
che hanno la proprietà che f(a + b) = f(a) + f(b) ...
Una funzione lineare è una funzione del tipo y = mx + q, con m e q reali, tutto qua.
di equazioni differenziali a derivate parziali!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Quanto alle funzioni lineari, non mi sembra di aver mai letto
che hanno la proprietà che f(a + b) = f(a) + f(b) ...
Una funzione lineare è una funzione del tipo y = mx + q, con m e q reali, tutto qua.
E' verissimo...in algebra lineare!
Siano V e W due spazi vettoriali. Una funzione $f: V rarr W$ si dice lineare se per ogni $v,z in V$ e per ogni per ogni $lambda in RR$ si ha:
$f(v+z)=f(v)+f(z)$
$f(lambda v)=lambda f(v)$
Una funzione lineare è un omomorfismo di gruppi. Infatti per ogni $v,z in V$ e per ogni per ogni $lambda, mu in RR$: $f(lambda v+mu z)= lambda f(v)+ mu f(z)$
In Elettronica esistono i teoremi di rete, che sono in stretta relazione con la linearità del circuito. Questa proprietà è la stessa proprietà di linearità definita matematicamente. Infatti una funzione f si dice lineare se e soltanto se:
Additività: $y_1=f(x_1), y_2=f(x_2) rarr y_1+y_2=f(y_1+y_2)$
Omogeneità: $y_1=f(x_1), AA lambda in RR rarr lambda y_1=f(lambda x_1)$
Siano V e W due spazi vettoriali. Una funzione $f: V rarr W$ si dice lineare se per ogni $v,z in V$ e per ogni per ogni $lambda in RR$ si ha:
$f(v+z)=f(v)+f(z)$
$f(lambda v)=lambda f(v)$
Una funzione lineare è un omomorfismo di gruppi. Infatti per ogni $v,z in V$ e per ogni per ogni $lambda, mu in RR$: $f(lambda v+mu z)= lambda f(v)+ mu f(z)$
In Elettronica esistono i teoremi di rete, che sono in stretta relazione con la linearità del circuito. Questa proprietà è la stessa proprietà di linearità definita matematicamente. Infatti una funzione f si dice lineare se e soltanto se:
Additività: $y_1=f(x_1), y_2=f(x_2) rarr y_1+y_2=f(y_1+y_2)$
Omogeneità: $y_1=f(x_1), AA lambda in RR rarr lambda y_1=f(lambda x_1)$
X Fireball 
:
sì, sono un pazzo, a 15 anni parlo già di equazioni differenziali alle derivate parziali... Ma cosa ci posso fare? E' la mia passione...
Comunque ti ringrazio per avermi rassicurato sulle funzioni lineari... Ero preoccupato: mi chiedevo "ma come è possibile che riesco a risolvere equazioni differenziali e non so quando una funzione si dice lineare?" Meno male che c'è Fireball che mi rassicura!!! Grazie 1000!
X leonardo:
sì, bene... ho capito tutto...
Scusami ma non sono ancora arrivato a studiare algebra lineare... Quindi ho un po' di problemi nella "decifrazione" del tuo post... ma non ti preoccupare, non è assolutamente colpa tua!!! Mi aggiornerò e mi istruirò perchè mi sembra un argomento molto interessante.... 8)
Ringraziandovi, vi saluto...
Pol
: sì, sono un pazzo, a 15 anni parlo già di equazioni differenziali alle derivate parziali... Ma cosa ci posso fare? E' la mia passione...
Comunque ti ringrazio per avermi rassicurato sulle funzioni lineari... Ero preoccupato: mi chiedevo "ma come è possibile che riesco a risolvere equazioni differenziali e non so quando una funzione si dice lineare?" Meno male che c'è Fireball che mi rassicura!!! Grazie 1000!
X leonardo:
sì, bene... ho capito tutto...
Scusami ma non sono ancora arrivato a studiare algebra lineare... Quindi ho un po' di problemi nella "decifrazione" del tuo post... ma non ti preoccupare, non è assolutamente colpa tua!!! Mi aggiornerò e mi istruirò perchè mi sembra un argomento molto interessante.... 8) Ringraziandovi, vi saluto...
Pol
Abbiamo trovato un altro Galois
(Galois faceva già ricerca a 15 anni)!!!
(Galois faceva già ricerca a 15 anni)!!!
paolo il tuo problema è semplicemente di "nomenclatura": è verissimo che una funzione si dice lineare se f(a+b) = f(a)+f(b). il problema è che questi a e b non sono gli a e b di y=ax+b. Infatti in generale si preferisce scrivere f(x+y)=f(x)+f(y), per mettere in luce che x ed y possono assumere qualunque valore nell'insieme di definizione della f. Un semplice calcolo a questo punto ti mostrerà che ogni retta per l'origine è una funzione lineare. Infatti f(x+y) = a(x+y) = ax + ay = f(x) + f(y). Le rette che non passano per l'origine, non sono, secondo tale definizione, funzioni lineari... perchè?? da un punto di vista geometrico il motivo è che tali rette non sono "sottospazi vettoriali", ma "sottovarietà lineari affini", ed è per questo che una siffatta retta è detta "funzione affine"...
per quanto riguarda le equazioni alle derivate parziali... sai almeno risolvere le equazioni differenziali ordinarie?... comunque si tratta di equazioni in cui l'incognita è una funzioni di più variabili da determinare in base ad una relazione soddisfatta dalle sue derivate parziali...
ciao, ubermensch
per quanto riguarda le equazioni alle derivate parziali... sai almeno risolvere le equazioni differenziali ordinarie?... comunque si tratta di equazioni in cui l'incognita è una funzioni di più variabili da determinare in base ad una relazione soddisfatta dalle sue derivate parziali...
ciao, ubermensch
Yes ubermensch, sono capace a risolvere quelle ordinarie del primo ordine a variabili separabili e lineari (queste ultime sia con la formula generale che con il metodo della variazione della costante arbitraria, detto anche emtodo di Lagrange) e del secondo ordine a coefficienti costanti.... Così dopo aver affrontato queste ordinarie e i primi elementi di analisi in tre dimensioni (so calcolare le derivate parziali di una funzione z=f(x,y) e risolvere gli integrali doppi...) volevo sapere qualcosa sui metodi risolutivi di queste equazioni su cui non ho materiale... Grazie, comunque per aver chiarito i miei dubbi sulle funzioni lineari.
Ciao 8)
Paolo90
P.S: un ringraziamento particolare a Fireball per il complimento... Grazie 1000!
Con affetto
Paolo90
Ciao 8)
Paolo90
P.S: un ringraziamento particolare a Fireball per il complimento... Grazie 1000!
Con affetto
Paolo90
ihih.. eccezionale... ti manca un pò di roba di analisi II però!.. facciamo così
http://www.mat.uniroma1.it/people/orsina/
qui trovi delle dispense di Calcolo II per approfondire quanto già sai (ti manca un pò di roba di analisi II)
http://www.mat.uniroma1.it/~mascia/
qui trovi delle dispense di equazioni differenziali ordinarie fatte moooolto bene in cui trovi moooolte più cose di quelle che probabilmente sai.
per quanto riguarda le equazioni alle derivate parziali, te le mando per posta elettronica
ciao, ubermensch
http://www.mat.uniroma1.it/people/orsina/
qui trovi delle dispense di Calcolo II per approfondire quanto già sai (ti manca un pò di roba di analisi II)
http://www.mat.uniroma1.it/~mascia/
qui trovi delle dispense di equazioni differenziali ordinarie fatte moooolto bene in cui trovi moooolte più cose di quelle che probabilmente sai.
per quanto riguarda le equazioni alle derivate parziali, te le mando per posta elettronica
ciao, ubermensch
mi serve la tua mail però
Comunque ti volevo ringraziare per tutto... Ho visitato il primo link... E' pieno di roba interessantissima!!... GRAZIE!! Sei proprio gentile... Ti ringrazio anche per tutto il materiale che mi invii via e-mail... Thank you very much Ubermensch!! Ci sentiamo via mail...
Paolo90
Ho visitato il primo link... E' pieno di roba interessantissima!!... GRAZIE!! Sei proprio gentile... Ti ringrazio anche per tutto il materiale che mi invii via e-mail... Thank you very much Ubermensch!! Ci sentiamo via mail... Paolo90
[size=150]Paolo90[/size]
Complimenti!
Per le PDE (Partial Differential Equations) ti servira' un po' di algebra lineare. Soprattutto se vuoi comprendere la parte numerica o comunque leggerle in un contesto piu' da analisi funzionale. Ma anche la parte "classica" tipo separazione delle variabili, anche in un libro per ingegneri, vengono quasi sempre intercalate in una ambientazione da analisi funzionale...
Per non parlare della parte di Numerica.....
Complimenti!
Per le PDE (Partial Differential Equations) ti servira' un po' di algebra lineare. Soprattutto se vuoi comprendere la parte numerica o comunque leggerle in un contesto piu' da analisi funzionale. Ma anche la parte "classica" tipo separazione delle variabili, anche in un libro per ingegneri, vengono quasi sempre intercalate in una ambientazione da analisi funzionale...
Per non parlare della parte di Numerica.....
Molto carino il tuo post, david_e!! 
Davvero molto simpatico!!
Grazie
Pol
Davvero molto simpatico!!Grazie
Pol
e' capitata una serie di coincidenze incredibile...
ieri ho incontrato per strada il mio ex prof di mate (del biennio), e ci siamo fermati un po' a chiacchierare. prima di congedarci, mi ha detto che mi avrebbe regalato un libro, senza dirmi quale. oggi a ricreazione mi viene a cercare e mi regala un libro sulle equazioni differenziali alle derivate parziali!!! (esattamente e' "Equazioni differenziali alle derivate parziali", di V.P.Michajlov)
ieri ho incontrato per strada il mio ex prof di mate (del biennio), e ci siamo fermati un po' a chiacchierare. prima di congedarci, mi ha detto che mi avrebbe regalato un libro, senza dirmi quale. oggi a ricreazione mi viene a cercare e mi regala un libro sulle equazioni differenziali alle derivate parziali!!! (esattamente e' "Equazioni differenziali alle derivate parziali", di V.P.Michajlov)
Che colpo di fortuna!! Ma perchè non capitano anche a me??!!
Con affetto
Paolo90
Con affetto
Paolo90
si, ma tanto non ci si capisce niente in quel libro stai tranquillo
ho un disperato bisogno di aiuto: avrei qualche problema con la seguente dimostrazione.
"Se un angolo di un triangolo misura 4/3 di angolo retto allora il quadrato del lato opposto è equivalente alla somma dei quadrati degli altri due aumentata del rettangolo dei lati stessi."
Vi ringrazio per l'aiuto.
Paolo
"Se un angolo di un triangolo misura 4/3 di angolo retto allora il quadrato del lato opposto è equivalente alla somma dei quadrati degli altri due aumentata del rettangolo dei lati stessi."
Vi ringrazio per l'aiuto.
Paolo
Semplicemente col th di Carnot:
c^2=a^2+b^2-2ab*cos(angolo compreso tra i lati a e b)
L'angolo in questione è 120°, il suo coseno vale -1/2.
Ciao
c^2=a^2+b^2-2ab*cos(angolo compreso tra i lati a e b)
L'angolo in questione è 120°, il suo coseno vale -1/2.
Ciao
Aiutati con la figura
$c^2=(b+acos(pi/3))^2+(asin(pi/3))^2 $
$c^2=b^2+a^2/4+2/2ab+3/4a^2 $
$c^2=b^2+a^2/4+ab+3/4a^2 $
$c^2=b^2+a^2+ab $
$c^2=(b+acos(pi/3))^2+(asin(pi/3))^2 $
$c^2=b^2+a^2/4+2/2ab+3/4a^2 $
$c^2=b^2+a^2/4+ab+3/4a^2 $
$c^2=b^2+a^2+ab $
Sì, vi ringrazio e concordo sulla dimostazione con il teorema di Carnot...
Però ne ho trovata una io stesso una più semplice attraverso il "teorema di Pitagora generalizzato": infatti esso afferma che (in riferimento alla figura di iteuler)
$c^2=a^2+b^2+2*b*la proiez. ortog dell'altro cateto sul primo. $ (1)
Chiamando h il piede della perpendicolare al lato b si ha che tale tringolo è il particolare triangolo rettangolo con gli angoli 30,60,90. Perciò il cateto minore vale la metà dell'ipotenusa.
Quindi sostituendo nella (1) si ricava la tesi :
c^2=a^2+b^2+2*b*(1/2a)
cioè semplificando
c^2 = a^2+b^2+ab.
Grazie 1000 per l'aiuto.
Paolo90
Però ne ho trovata una io stesso una più semplice attraverso il "teorema di Pitagora generalizzato": infatti esso afferma che (in riferimento alla figura di iteuler)
$c^2=a^2+b^2+2*b*la proiez. ortog dell'altro cateto sul primo. $ (1)
Chiamando h il piede della perpendicolare al lato b si ha che tale tringolo è il particolare triangolo rettangolo con gli angoli 30,60,90. Perciò il cateto minore vale la metà dell'ipotenusa.
Quindi sostituendo nella (1) si ricava la tesi :
c^2=a^2+b^2+2*b*(1/2a)
cioè semplificando
c^2 = a^2+b^2+ab.
Grazie 1000 per l'aiuto.
Paolo90
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