2 disequazioni logaritmiche

[volcom88]

Ciao ho dei problemi con queste due disequazioni:

1) $ log (1/3)sin x - log (1/3) cos x geq 1/2 $
2) $ log_(2/5)3tan^2 x/2 < log_(2/5) (sqrt(3)sin x )/(1+cos x) $

I numeri tra parentesi sono le basi dei logaritmi.

Per quanto riguarda la prima l'ho traformata in $ log (1/3)sin^2 x - log (1/3) cos x^2 geq log(1/3)1/3 $ moltiplicando tutto per 2 e trasformando 1 in $log(1/3)1/3$;
poi $sin^2x-cos^2x geq 1/3 $ utilizzando la relazione fondamentale $2 sin^2x-4/3geq 0$ che mi da $ sin geq pm sqrt(2/3) $ che non mi da il risultato del libro che è $k2pi
La seconda utilizzando la formula di bisezione della tangente $ (3cos x + sqrt(3) sin x -3)/(1+ cos x) > 0 $ quella sotto è sempre maggiore di zero ($ x != pi+2kpi $) quella sopra l'ho studiata come una lineare e l'ho messa a sistema con l'equazione della circonferenza goniometrica

$ { (3X+sqrt(3)Y-3>0 ),( X^2+Y^2=1 ):} $

risolvendola ho trovato questi risultati: $X=1, Y=0 ; X=1/2, Y=sqrt(3)/2$

Ma anche questi non vengono come il libro che mi dice $pi/3+k2pi
dove sbaglio?

Grazie mille

[Gi81]

Non è vero che da qui: $ log_(1/3)(sin^2 x) - log_(1/3) (cos^2 x) geq log_(1/3)1/3 $ si deduce questo: $sin^2x-cos^2x geq 1/3 $
Piuttosto si sfrutta una proprietà dei logaritmi: $log_(1/3)(sin^2 x) - log_(1/3) (cos^2 x)=log_(1/3)((sin^2 x)/(cos^2x))$
e quindi la disequazione diventa: $log_(1/3) (tg^2x)>= log_(1/3) (1/3)$ e solo a questo punto puoi "togliere" i logaritmi,
tenendo presente che, siccome la base è tra $0$ e $1$, devi girare il verso della disequazione: $tg^2x<=1/3$

[Gi81]

Anche se io farei così, ripartendo dall'inizio: $log_(1/3) (sinx/cosx)>=1/2=> tg(x)<=(1/3)^(1/2)=> tgx<=sqrt3/3$

[@melia]

Ragazzi, prima di applicare i teoremi sui logaritmi è necessario fare le condizioni di esistenze, che essendo $sinx>0$ e $cosx>0$ indicano come intervallo di esistenza solo il primo quadrante.

[Gi81]

Giustissimo

[volcom88]

Perfetto ci sono solo 1 dubbio sulla c.e.:

io devo imporre $sinx/cos x geq 0$ oltre al primo quadrante non va bene anche il terzo o devo imporre separatamente $cosx geq 0 , sinxgeq0$?

Ps: ho rifatto la seconda e mi è venuta!

Grazie mille a tutti.

Ciao ciao

[Gi81]

Siccome l'equazione di partenza è $ log_(1/3)(sin x) - log_(1/3) (cos x) geq 1/2 $ ,
devi imporre separatamente le due condizioni: ${(sinx>0),(cosx>0):}$
che, come ha scritto @melia, ha come soluzione il primo quadrante, estremi esclusi.
Non c'è bisogno si fare molti calcoli per accorgersene, basta avere un minimo di dimestichezza con seno e coseno.
Quand'è che sia il seno che il coseno sono positivi? Nel primo quadrante