1) Il teorema dell'angolo esterno / 2) Le relazioni fra i lati di un triangolo

[Annie__]

Salve ragazzi:). Sareste così gentili da aiutarmi a risolvere queste dimostrazioni? :)

1) Disegna un triangolo ABC e un punto E interno al triangolo. Congiungi E con i vertici B e C. Dimostra che l'angolo BEC è maggiore dell'angolo A.
(suggerimento. Congiungi A con E, poi prolunga il segmento AE fino a incontrare il lato BC nel punto F. Utilizza il teorema dell'angolo esterno maggiore prima nel triangolo AEC e poi nel triangolo AEB.

2) Disegna un trinagolo ABC di base AB e altezza CH. Dimostra che la somma dei tre lati del triangolo è maggiore del doppio dell'altezza CH.
Grazie mille :D

[BIT5]

1) come dice il suggerimento:

relativamente al triangolo AEC abbiamo che l'angolo CEF e' angolo esterno all'angolo AEC pertanto maggiore di CAE
analogamente per il triangolo ABE abbiamo che l'angolo FEB e' angolo esterno al l'angolo AEB del triangolo ABE

pertanto, per il teorema dell'angolo esterno, avremo che

[math] C \hat{E} F > C \hat{A} E \\ \\ B \hat{E} F > E \hat{A} B [/math]

pertanto sapendo che se a>b e c>d allora a+c>b+d, avremo che

[math] C \hat{E} F + B \hat{E} F > C \hat{A} E + E \hat{A} B \ \ \ (I)[/math]

ma

[math] C \hat{E} F + B \hat{E} F = C \hat{E} B [/math]

e

[math] C \hat{A} E + E \hat{A} B = C \hat{A} B [/math]

quindi sostituendo alla (I) avrai cio' che chiede il problema

Aggiunto 2 minuti più tardi:

2) Considera i triangoli ACH e BHC

per ciascun triangolo sappiamo che la somma di due lati e' sempre maggiore del terzo lato.

Pertanto

AH+AC>CH
BH+BC>CH

Sapendo, come prima, che se a>b e c>d allora a+c>b+d, avremo che

AH+AC+BH+BC>CH+CH

e siccome AH+HB=AB e CH+CH=2CH avremo

AB+AC+BC>2CH

[Annie__]

Grazie Bit :) :kiss