Urgentissimo problema
1) L'ipotenusa e un cateto di un triangolo rettangolo misurano 60 cm e 36 cm. Calcola la misura dell'altezza relativa all'ipotenusa e di ciascun segmento in cui l'altezza divide l'ipotenusa. Risultati: [28,8 cm; 21,6] cm
38,4 cm
2) In un triangolo rettangolo i cateti misurano 2 cm e 1,5 cm. Calcola il perimetro dei due triangoli rettangoli che si ottengono tracciando l'altezza relativa all'ipotenusa. Risultati: [4,8 cm; 3,6 cm]
3)In un triangolo rettangolo un cateto è 4/3 dell'altro e la loro somma misura 35 cm. Calcola la misura del lato del quadrato avente il perimetro congruente a 14/5 del triangolo.
Vi ringrazio anticipatamente
38,4 cm
2) In un triangolo rettangolo i cateti misurano 2 cm e 1,5 cm. Calcola il perimetro dei due triangoli rettangoli che si ottengono tracciando l'altezza relativa all'ipotenusa. Risultati: [4,8 cm; 3,6 cm]
3)In un triangolo rettangolo un cateto è 4/3 dell'altro e la loro somma misura 35 cm. Calcola la misura del lato del quadrato avente il perimetro congruente a 14/5 del triangolo.
Vi ringrazio anticipatamente
Risposte
Ciao, ho appena letto le richieste.
Partiamo dal primo quesito:
1) E' richiesto di calcolare l'altezza relativa all'ipotenusa, che chiamiamo h come riportato dal disegno. Partiamo dal dire che ci sono diversi metodi per risolvere questo esercizio, ma probabilmente il metodo che a te serve e' il seguente:
Per prima cosa, sappiamo che:
Dal teorema di Pitagora possiamo calcolare il cateto c, in questo modo:
A questo punto, possiamo iniziare ad effettuare i ragionamenti per il calcolo dell'altezza, h.
Il nostro triangolo rettangolo di partenza e' stato diviso in due triangoli rettangoli, il primo ha come cateti b e h ed ipotenusa c (che abbiamo appena calcolato); mentre, il secondo ha come cateti a ed h ed ipotenusa 36 [cm].
Partiamo dal primo triangolo e proviamo a calcolare h:
Per il secondo triangolo vale:
Poiche'; stiamo parlando delle stesse quantita', possiamo scrivere che:
Questo passaggio e' stato fatto, in quanto adesso dobbiamo andare a mettere a sistema la relazione appena trovata, con la relazione iniziale, ovvero:
Adesso, per sostituzione troviamo i valori di a e b (partiamo dalla seconda):
Eleviamo tutto al quadrato in modo da togliere la radice quadrata:
Adesso, mettiamo in evidenza una delle due variabili:
Dalla prima equazione andiamo ad evidenziare la b. quindi:
Sostituiamo all'interno della relazione appena trovata ed otteniamo:
I calcoli non li riporto, ma i risultati finali risultano essere:
Quindi, la b risulta essere:
Adesso, possiamo calcolare h con il teorema di Pitagora con uno o con l'altro triangolo, scegliamo il triangolo c,h,b:
Secondo quesito:
Possiamo ripetere lo stesso ragionamento effettuato in precedenza; come sempre allego la foto per il secondo problema per capire cosa facciamo. Iniziamo col calcolarci l'ipotenusa:
Per come e' stato fatto il disegno possiamo dire che l'ipotenusa la possiamo scrivere in questo modo:
Adesso abbiamo i due cateti con l'ipotenusa, possiamo procedere per il calcolo dell'altezza come fatto prima, quindi, troviamo i due triangoli e possiamo uguagliarli lungo la h, in questo modo:
Adesso, svolgiamo il sistema:
Prendiamo la seconda equazione e mettiamo in evidenza una variabile, a oppure b e' indifferente, quindi:
Eleviamo al quadrato:
A questo punto ricaviamo la b dalla prima equazione:
e sostituiamolo nella seconda equazione:
Trovato a ritorniamo nella prima equazione per calcolare b:
Quindi, abbiamo trovato tutto quello che ci serve per calcolare l'altezza.
Come sempre, usare o la prima o la seconda formula per l'altezza non cambia nulla poiche' sono uguali, quindi, scegliamo:
Abbiamo trovato anche h, quindi, possiamo trovare i due perimetri:
Perimetro 1:
Perimetro 2:
Terzo quesito:
Per quest'ultimo quesito viene chiesto il calcolo di un lato del quadrato che ha perimetro congruente a
Sappiamo che il cateto 2 e'
e
Possiamo trovarli entrambi in questo modo:
messa in evidenza del cateto 1:
Quindi:
Adesso, possiamo calcolare l'ipotenusa:
Il perimetro del triangolo e' pari a:
Mentre, il perimetro del quadrato e' pari a:
Quindi il lato del quadrato e' pari:
Spero di non aver sbagliato i calcoli dell'ultimo esercizio. Buono studio.
Partiamo dal primo quesito:
1) E' richiesto di calcolare l'altezza relativa all'ipotenusa, che chiamiamo h come riportato dal disegno. Partiamo dal dire che ci sono diversi metodi per risolvere questo esercizio, ma probabilmente il metodo che a te serve e' il seguente:
Per prima cosa, sappiamo che:
[math] a + b = 60 [cm] [/math]
Dal teorema di Pitagora possiamo calcolare il cateto c, in questo modo:
[math] c = \sqrt {60^2 [cm^2] - 36^2 [cm^2]} = 48 [cm] [/math]
A questo punto, possiamo iniziare ad effettuare i ragionamenti per il calcolo dell'altezza, h.
Il nostro triangolo rettangolo di partenza e' stato diviso in due triangoli rettangoli, il primo ha come cateti b e h ed ipotenusa c (che abbiamo appena calcolato); mentre, il secondo ha come cateti a ed h ed ipotenusa 36 [cm].
Partiamo dal primo triangolo e proviamo a calcolare h:
[math] h = \sqrt{36^2 - b^2} [/math]
Per il secondo triangolo vale:
[math] h = \sqrt{48^2 - a^2} [/math]
Poiche'; stiamo parlando delle stesse quantita', possiamo scrivere che:
[math] \sqrt{36^2 - b^2} = \sqrt{48^2 - a^2} [/math]
Questo passaggio e' stato fatto, in quanto adesso dobbiamo andare a mettere a sistema la relazione appena trovata, con la relazione iniziale, ovvero:
[math] 1) a + b = 60 [cm] [/math]
[math] 2) \sqrt{36^2 - b^2} = \sqrt{48^2 - a^2} [/math]
Adesso, per sostituzione troviamo i valori di a e b (partiamo dalla seconda):
Eleviamo tutto al quadrato in modo da togliere la radice quadrata:
[math] 36^2-b^2 = 48^2 - a^2 [/math]
Adesso, mettiamo in evidenza una delle due variabili:
[math] a^2 = 48^2 -36^2 +b^2 [/math]
Dalla prima equazione andiamo ad evidenziare la b. quindi:
[math] b = 60 - a [/math]
Sostituiamo all'interno della relazione appena trovata ed otteniamo:
[math] a^2 = 48^2-36^2+(60-a)^2 [/math]
I calcoli non li riporto, ma i risultati finali risultano essere:
[math] a = 21.6 [cm] [/math]
Quindi, la b risulta essere:
[math] b = 60 [cm] - a = 60 [cm] - 21.6 [cm] = 38.4 [cm] [/math]
Adesso, possiamo calcolare h con il teorema di Pitagora con uno o con l'altro triangolo, scegliamo il triangolo c,h,b:
[math] h = \sqrt{c^2-b^2} = \sqrt{48^2 - 38.4^2} =28.8 [cm] [/math]
Secondo quesito:
Possiamo ripetere lo stesso ragionamento effettuato in precedenza; come sempre allego la foto per il secondo problema per capire cosa facciamo. Iniziamo col calcolarci l'ipotenusa:
[math] ipotenusa = \sqrt{2^2 + 1.5^2} = 2.5 [cm] [/math]
Per come e' stato fatto il disegno possiamo dire che l'ipotenusa la possiamo scrivere in questo modo:
[math] ipotenusa = a + b = 2.5 [cm] [/math]
Adesso abbiamo i due cateti con l'ipotenusa, possiamo procedere per il calcolo dell'altezza come fatto prima, quindi, troviamo i due triangoli e possiamo uguagliarli lungo la h, in questo modo:
[math] h = \sqrt{1.5^2-a^2}=\sqrt{2^2-b^2} [/math]
Adesso, svolgiamo il sistema:
[math] 1) a+b = 2.5 [cm] [/math]
[math] 2) \sqrt{1.5^2-a^2}=\sqrt{2^2-b^2} [/math]
Prendiamo la seconda equazione e mettiamo in evidenza una variabile, a oppure b e' indifferente, quindi:
Eleviamo al quadrato:
[math] 2) 1.5^2-a^2=2^2-b^2 [/math]
[math] 2) -a^2=2^2-b^2-1.5^2 [/math]
[math] 2) a^2=-2^2+b^2+1.5^2 [/math]
A questo punto ricaviamo la b dalla prima equazione:
[math] 1) b = 2.5 [cm] -a [/math]
e sostituiamolo nella seconda equazione:
[math] 2) a^2=-2^2+(2.5 - a)^2+1.5^2 [/math]
[math] 2) a^2=-2^2+2.5^2+a^2-2*2.5*a+1.5^2 [/math]
[math] 2) a^2=-2^2+2.5^2+a^2-2*2.5*a+1.5^2 [/math]
[math] 2)5*a =-2^2+2.5^2+1.5^2 = 4.5 [cm] [/math]
[math] 2)a = \frac{4.5}{5} [cm] = 0.9 [cm][/math]
Trovato a ritorniamo nella prima equazione per calcolare b:
[math] 1) b = 2.5 [cm] -a = 2.5 - 0.9 [cm] = 1.6 [cm][/math]
Quindi, abbiamo trovato tutto quello che ci serve per calcolare l'altezza.
Come sempre, usare o la prima o la seconda formula per l'altezza non cambia nulla poiche' sono uguali, quindi, scegliamo:
[math] 2) h = \sqrt{1.5^2-a^2} = 1.2 [cm][/math]
Abbiamo trovato anche h, quindi, possiamo trovare i due perimetri:
Perimetro 1:
[math] 2 [cm] + 1.2 [cm] + 1.6 [cm] = 4.8 [cm] [/math]
Perimetro 2:
[math] 1.5 [cm] + 1.2 [cm] + 0.9 [cm] = 2.6 [cm] [/math]
Terzo quesito:
Per quest'ultimo quesito viene chiesto il calcolo di un lato del quadrato che ha perimetro congruente a
[math] \frac{14}{5} [/math]
del perimetro del triangolo. Quindi, iniziamo con tutti i procedimenti (come sempre e' stata allegata l'immagine relativa al problema), procediamo:Sappiamo che il cateto 2 e'
[math] \frac{4}{3} [/math]
del cateto 1, e sappiamo che la loro somma e' [math] 35 [cm] [/math]
. Ovvero:[math] c_2 = \frac{4}{3}c_1 [/math]
e
[math] c_1 + c_2 = 35 [cm] [/math]
Possiamo trovarli entrambi in questo modo:
[math] c_1 + \frac{4}{3}c_1 = 35 [cm] [/math]
messa in evidenza del cateto 1:
[math] c_1 (1+\frac{4}{3}) = \frac{7}{3}c_1=35 [cm] [/math]
[math] c_1 = \frac{3}{7}*35 [cm] = 15 [cm] [/math]
Quindi:
[math] c_2 = \frac{4}{3}c_1 = 20 [cm] [/math]
Adesso, possiamo calcolare l'ipotenusa:
[math] ipotenusa = \sqrt{20^2 + 15^2} = 25[cm] [/math]
Il perimetro del triangolo e' pari a:
[math] P_{Triangolo} = 20 [cm] + 15 [cm] + 25 [cm] = 60 [cm] [/math]
Mentre, il perimetro del quadrato e' pari a:
[math] P_{Quadrato} = \frac{14}{5}*P_{Triangolo} = \frac{14}{5}*60 [cm] = 168 [cm] [/math]
Quindi il lato del quadrato e' pari:
[math] l = \frac{P_{Quadrato}}{4} = \frac{168}{4} [cm] = 42 [cm] [/math]
Spero di non aver sbagliato i calcoli dell'ultimo esercizio. Buono studio.
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