Urgente probabilità e geometria

[Letialex]

Probabilità e geometria urgente
1° quesito
Da un'urna contenente 50 dischetti numerati da 1 a 50 si estrae un dischetto.
Calcola la probabilità (indicandola con una frazione, con il corrispondente numero decimale e in percentuale) che il dischetto estratto rechi un numero:
a) divisibile per 5
b) multiplo di 9
c) primo
d) maggiore di 15
e) minore di 35

2° quesito
un solido è la somma di un cilindro e di una piramide regolare quadrangolare avente la base circoscritta ad una base di cilindro. Calcola il volume del solido sapendo che l'altezza del cilindro misura 30 cm, che l'altezza della piramide è 4/5 di quella del cilindro e che il volume del cilindro è di 3000 pgreco cm^3.
calcola inoltre l'area della superficie del solido.

[tiscali]

Niente di difficile. Dunque, partiamo dal punto a.

a)Ci chiede quale probabilità abbiamo di estrarre un dischetto con un numero divisibile per 5. Essendo che i dischi sono 50, i dischi con un numero divisibile per 5 saranno 10 (5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50). Perciò la probabilità di pescare un disco contenente uno di quei numeri è pari a:

[math]\frac{\not{10}^{1}}{\not{50}^{5}}[/math]

Per quanto riguarda la percentuale:

[math]\frac{1}{5} \cdot 100 = 20%[/math]

b)Ci chiede le probabilità e la percentuale che abbiamo di pescare un dischetto con un multiplo di 9. Tra i 50 dischi i multipli di 9 sono 5 (9, 18, 27, 36, 45), perciò il calcolo è analogo a quello precedente (punto a)

c)Passiamo ai numeri primi. Come tu ben saprai, i numeri primi sono quei numeri che sono divisibili solamente per stessi (oltreché per 1, ovviamente). I numeri primi compresi tra 1 e 50 sono 15 (1, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47), perciò scriveremo:

[math]\frac{\not{15}^{3}}{\not{50}^{10}} = \frac{3}{10} [/math]

Per la percentuale:

[math]\frac{3}{10} \cdot 100 = 30%[/math]

d)Numeri maggiori di 15. I dischi contenenti numeri maggori di 15 sono 35 (poiché 50 - 15 = 35). Perciò calcoliamo:

[math]\frac{\not{35}^{7}}{\not{50}^{10}} = \frac{7}{10} [/math]

Percentuale:

[math]\frac{7}{10} \cdot 100 = 70%[/math]

e)Numeri minori di 35. I numeri minori di 35 sono 15 (50 - 35 = 15). Calcoliamo probabilità e percentuale:

[math]\frac{\not{15}^{3}}{\not{50}^{10}} = \frac{3}{10}[/math]

Percentuale:

[math]\frac{3}{2} \cdot 100 = 30%[/math]

Passiamo al problema.

Abbiamo il volume del cilindro, che è pari a 3000 pigreco cm^3. Conosciamo anche la sua altezza, che misura 30 cm, e conosciamo anche il rapporto con l'altezza della piramide, la quale è i 4/5 di quella del cilindro. Utilizando la formula inversa del volume del cilindro, possiamo ricavare il suo raggio.

[math]V = Sb \cdot h[/math]

dove

[math]Sb = r^2 \cdot \pi[/math]

Invertiamo e otteniamo:

[math]r^2 = \frac{V}{h \pi} = \frac{3000}{30 \pi} = 100 \to r = \sqrt{100} = 10 cm[/math]

Il raggio misura 10. Poiché la base della piramide è circoscritta a quella del cilindro avremo che il diametro della circonferenza alla base del cilindro equivarrà al lato del quadrato di base della piramide, perciò otteniamo:

[math]d = l = r \cdot 2 = 20 cm[/math]

Ora possiamo calcolare la superficie di base della piramide:

[math]Sb = l^2 = 20 \cdot 20 = 400 cm^2[/math]

Passiamo ora all'altezza della piramide: essa è i

[math]\frac{4}{5}[/math]

di quella del cilindro, perciò possiamo facilmente calcolarla:

[math]hp = \frac{4}{\not{5}^{1}} {\not{30}^{6}} = 24 cm [/math]

Calcoliamo il volume della piramide:

[math]Vp = \frac{Sb \cdot h}{3} = 3200 cm^3[/math]

Volume del solido:

[math]Vc + Vp = 3000 + 3200 = 6200 cm^3[/math]

Ora dobbiamo calcolare la superficie totale del solido. Consideriamo prima la piramide, della quale calcoliamo il suo perimetro di base:

[math]Pb = l \cdot 4 = 20 \cdot 4 = 80 cm[/math]

Ora abbiamo bisogno dell'apotema, per poter calcolare la sua superficie totale. Consideriamo il triangolo rettangolo formato dall'altezza della piramide, e dal raggio della circonferenza del cilindro, calcoliamo l'ipotenusa/apotema applicando il teorema di Pitagora:

[math]a = \sqrt{24^2 + 10^2} = \sqrt{576 + 100} = \sqrt{676} = 26 cm[/math]

Adesso possiamo calcolare la superficie totale della piramide:

[math]St_p = \frac{Pb \cdot a}{2} = \frac{80 \cdot 26}{2} = 1040 cm^2[/math]

Occupiamoci del cilindro. Per calcolare la sua superficie totale abbiamo bisogno di quella laterale.

[math]Sl_c = Al = 2 \cdot r \cdot 3,14 \cdot h = 2 \cdot r \cdot 3,14 \cdot h = 1884 cm^2[/math]

Infine, essendo che la base del cilindro è un cerchio, calcoliamo la sua area (tieni conto che i cerchi sono due):

[math]Sb_c = \pi \cdot r^2 = 3,14 \cdot 10^2 = 314 cm^2[/math]

Sommiamo Sl e Sb del cilindro e otteniamo la sua superficie totale:

[math]St_c = 628 + 1884 = 2512 cm^2[/math]

Infine calcoliamo la superficie totale del solido:

[math]St = St_c + St_p = 2512 + 1040 = 3550 cm^2[/math]

Fammi sapere se i risultati sono corretti.