Trapezio rettangolo inscritto

[39st]

Del trapezio rettangolo ABCD sai che BC misura 100 e viene diviso dal raggio della circonferenza inscritta in due parti proporzionali a 9 e 16.
Calcola la misura dell'apotema del trapezio (deve essere 48)
Calcola le misure dell'area e della base minore del trapezio (deve essere 9408 cm2 - 84 cm).

Grazie

[tiscali]

Anzitutto prendiamo un'immagine, in modo che ti risultino più chiari i passaggi che sto per esporti:





Cominciamo.
Il testo ci informa che il lato BC misura 100. In più, il raggio della circonferenza (OT) divide in due parti proporzionali a 9 e 16 l'ipotenusa. In altre parole, CT è i

[math]\frac{9}{16}[/math]

di TB

La prima cosa da fare è, in base ai dati, calcolare le misure di queste ultime due misure. Graficamente, possiamo riprodurre le due misure attraverso le unità frazionarie:


CT |-|-|-|-|-|-|-|-|-|

TB |-|-|-|-|-|-|-|-|-|-|-|-|-|-|-|-|


La loro somma, sappiamo, misura 100, mentre la somma delle unità è 25. Pertanto, effettuando una semplice divisione tra la misura dell'ipotenusa e la somma delle u.f possiamo calcolare la misura di una singola unità frazionaria:

[math]uf = \frac{BC}{25} \to \frac{100}{25} = 4 cm[/math]

Ora, siamo in grado di calcolare CT e TB.

[math]CT = uf \cdot 9 = 4 \cdot 9 = 36 cm[/math]

[math]TB = uf \cdot 16 = 4 \cdot 16 = 64 cm[/math]

Ora, necessitiamo la misura del raggio (che equivale all'apotema del trapezio) per poter proseguire. Riconsideriamo nuovamente il raggio OT. Esso non è altro che il medio proporzionale delle due grandezze che abbiamo appena calcolato, pertanto impostiamo una proporzione che segue la regola fondamentale, secondo la quale il prodotto degli estremi è uguale al prodotto dei medi (l'incognita che stiamo cercando) :

[math]TC : OT = OT : TB[/math]

Applicando la regola avremo:

[math]CT \cdot TB = OT^2 = OT^2 = 2304[/math]

.

Pertanto, considerato che possediamo il quadrato di OT, dobbiamo svolgere la radice quadrata:

[math]OT = \sqrt{2304} = 48 cm[/math]

Riesci a proseguire?