Risoluzione problema geometria poligoni inscritti e circoscritti
Buongiorno,
grande dubbio sulla prosecuzione di questo esercizio di geometria:
"Determina la misura dei lati di un trapezio isoscele circoscritto ad una circonferenza sapendo che le basi sono una i $5/4$ dell'altra e che è isoperimetrico ad un rettangolo le cui dimensioni differiscono di 45 dm e sono una i $2/7$ dell'altra"
Trovo agevolmente i dati del rettangolo ma poi non sono sicurissimo su come proseguire.
trovando che la base del rettangolo era $63dm$ e l'altezza $18dm$ la faccio coincidere con la base piccola del trapezio a cui aggiungo $1/8$ che sarebbe la differenza tra base più grande e più piccola diviso 2 (sostanzialmente tolgo il triangolo a lato del trapezio per inserirlo a sinistra). Ma questa strada mi sembra molto macchinosa.
Anche qui non capisco se il trapezio ha al suo interno la circonferenza oppure è il contrario.
Mi verrebbe da impostare un'equazione del tipo $5/4x+4/4x$ + 2 ipotenuse $=162$ (162 è il perimetro)
ma non capisco come collegare le ipotenuse. Non mi sembra di riuscire ad applicare nessuna proprietà delle circonferenze che mi dia elementi per concludere l'esercizio.
Grazie mille
grande dubbio sulla prosecuzione di questo esercizio di geometria:
"Determina la misura dei lati di un trapezio isoscele circoscritto ad una circonferenza sapendo che le basi sono una i $5/4$ dell'altra e che è isoperimetrico ad un rettangolo le cui dimensioni differiscono di 45 dm e sono una i $2/7$ dell'altra"
Trovo agevolmente i dati del rettangolo ma poi non sono sicurissimo su come proseguire.
trovando che la base del rettangolo era $63dm$ e l'altezza $18dm$ la faccio coincidere con la base piccola del trapezio a cui aggiungo $1/8$ che sarebbe la differenza tra base più grande e più piccola diviso 2 (sostanzialmente tolgo il triangolo a lato del trapezio per inserirlo a sinistra). Ma questa strada mi sembra molto macchinosa.
Anche qui non capisco se il trapezio ha al suo interno la circonferenza oppure è il contrario.
Mi verrebbe da impostare un'equazione del tipo $5/4x+4/4x$ + 2 ipotenuse $=162$ (162 è il perimetro)
ma non capisco come collegare le ipotenuse. Non mi sembra di riuscire ad applicare nessuna proprietà delle circonferenze che mi dia elementi per concludere l'esercizio.
Grazie mille
Risposte
CIaoooo.
Il trapezio contiene la circonferenza. Non ho capito se il perimetro te lo sei calcolato o hai dubbi su quello per poter proseguire.
Il trapezio contiene la circonferenza. Non ho capito se il perimetro te lo sei calcolato o hai dubbi su quello per poter proseguire.
No no il perimetro è l'unica cosa corretta ma poi non so come proseguire nel calcolo delle diagonali del trapezio isoscele perchè non so come legarle alla variabile x per far saltar fuori il perimetro.
In che modo sapere che le due figure sono isoperimetriche potrebbe aiutarmi? non conosco l'altezza del trapezio che potrebbe servirmi per utilizzare Pitagora e ricavare la diagonale.
In che modo sapere che le due figure sono isoperimetriche potrebbe aiutarmi? non conosco l'altezza del trapezio che potrebbe servirmi per utilizzare Pitagora e ricavare la diagonale.
Spero di essere leggibile nelle mie elucubrazioni.
Il nostro obiettivo è quello di trovare le misure di:
- base maggiore
- base minore
- lato obliquo (l'altro è congruente)
Quindi dobbiamo trovare un metodo per ricavare questi "valori" e trovare una qualche relazione tra i lati del trapezio.
A tal fine immagina un punto esterno alla circonferenza a fai partire 2 rette tangenti (non coincidenti ovviamente) alla circonferenza. Cosa possiamo dire dei segmenti che collegano questo punto esterno ai punti di tangenza?
Il nostro obiettivo è quello di trovare le misure di:
- base maggiore
- base minore
- lato obliquo (l'altro è congruente)
Quindi dobbiamo trovare un metodo per ricavare questi "valori" e trovare una qualche relazione tra i lati del trapezio.
A tal fine immagina un punto esterno alla circonferenza a fai partire 2 rette tangenti (non coincidenti ovviamente) alla circonferenza. Cosa possiamo dire dei segmenti che collegano questo punto esterno ai punti di tangenza?
"DavidGnomo":
Cosa possiamo dire dei segmenti che collegano questo punto esterno ai punti di tangenza?
che la distanza tra punto esterno e i due punti di tangenza è la stessa. Il punto esterno è equidistante sia dal primo punto di tangenza sia dal secondo.
Provo a utilizzare il ragionamento del post che mi hai fornito in precedenza:
se la somma di lati opposti è uguale significa che la somma delle diagonali congruenti è uguale alla somma di base minore + base maggiore.
base maggiore $5/4x$
base minore $4/4x$
quindi come ad esempio $5+8=10+3$ allora il perimetro potrebbe essere $(5+8)*2$
quindi il perimetro complessivo sarebbe $2*(5/4x+4/4x)= 162 dm$
potrebbe andare?
se la somma di lati opposti è uguale significa che la somma delle diagonali congruenti è uguale alla somma di base minore + base maggiore.
base maggiore $5/4x$
base minore $4/4x$
quindi come ad esempio $5+8=10+3$ allora il perimetro potrebbe essere $(5+8)*2$
quindi il perimetro complessivo sarebbe $2*(5/4x+4/4x)= 162 dm$
potrebbe andare?
Allora, io sinceramente avevo dato per assodato che il perimetro del rettangolo fosse già ben identificato. Quindi il mio suggerimento era per lo step successivo. Trovare i "valori" dei lati del trapezio.
Come giustamente hai detto, le distanze dal punto esterno alla circonferenza ai suoi 2 punti di tangenza sono congruenti. Come possiamo applicare questa nozione al nostro problema?
Consideriamo il trapezio isoscele $ABCD$ con:
$AB$ = base minore
$CD$ = base maggiore
$AD$ e $BC$ = lati obliqui
Tornando al ragionamento del punto esterno, in questo caso possiamo considerare ad esempio il vertice $A$.
Da questo vertice puoi far partire 2 segmenti ai punti di tangenza alla circonferenza inscritta. Lo stesso puoi fare per tutti gli altri vertici. Che considerazione possiamo fare? A cosa saranno uguali la base maggiore e minore? Ed il lati obliqui?
Come giustamente hai detto, le distanze dal punto esterno alla circonferenza ai suoi 2 punti di tangenza sono congruenti. Come possiamo applicare questa nozione al nostro problema?
Consideriamo il trapezio isoscele $ABCD$ con:
$AB$ = base minore
$CD$ = base maggiore
$AD$ e $BC$ = lati obliqui
Tornando al ragionamento del punto esterno, in questo caso possiamo considerare ad esempio il vertice $A$.
Da questo vertice puoi far partire 2 segmenti ai punti di tangenza alla circonferenza inscritta. Lo stesso puoi fare per tutti gli altri vertici. Che considerazione possiamo fare? A cosa saranno uguali la base maggiore e minore? Ed il lati obliqui?
"DavidGnomo":
Allora, io sinceramente avevo dato per assodato che il perimetro del rettangolo fosse già ben identificato. Quindi il mio suggerimento era per lo step successivo. Trovare i "valori" dei lati del trapezio.
Si David infatti il perimetro ricavato dal rettangolo è $162dm$
il ragionamento che ho scritto sopra è lo stesso utilizzato nell'altro post, non è corretto?
"DavidGnomo":
Tornando al ragionamento del punto esterno, in questo caso possiamo considerare ad esempio il vertice $A$.
Da questo vertice puoi far partire 2 segmenti ai punti di tangenza alla circonferenza inscritta. Lo stesso puoi fare per tutti gli altri vertici. Che considerazione possiamo fare? A cosa saranno uguali la base maggiore e minore? Ed il lati obliqui?
ho provato a disegnarlo ma non riesco a traslare sul disegno il ragionamento
Ho trovato questa definizione:
"Il lato obliquo di un trapezio isoscele circoscritto ad una circonferenza è uguale alla semisomma delle basi del trapezio stesso"
Quindi in teoria se prendo la semisomma delle basi $(4/4x+5/4x)/2$ ottengo una diagonale
moltiplico per due e ottengo la misura di due diagonali
sommo tutto e pongo uguale al perimetro e dovrebbe riuscire correttamente no?
"Il lato obliquo di un trapezio isoscele circoscritto ad una circonferenza è uguale alla semisomma delle basi del trapezio stesso"
Quindi in teoria se prendo la semisomma delle basi $(4/4x+5/4x)/2$ ottengo una diagonale
moltiplico per due e ottengo la misura di due diagonali
sommo tutto e pongo uguale al perimetro e dovrebbe riuscire correttamente no?
Rieccomi! Il perimetro è giusto.
La circonferenza invece è contenuta nel trapezio, inoltre i punti esterni alla circonferenza sono proprio i vertici del poligono. Vedi nel disegno seguente, ho segnato sia i vertici che i punti di tangenza dei vertici con la circonferenza interna. Cosa possiamo dedurre da questo grafico?
[img]https://imgur.com/uWSO1UV[/img]
https://imgur.com/uWSO1UV
EDIT: Mi sono accorto che manca un punto di tangenza che non ho segnato. Riesci ad individuarlo?
La circonferenza invece è contenuta nel trapezio, inoltre i punti esterni alla circonferenza sono proprio i vertici del poligono. Vedi nel disegno seguente, ho segnato sia i vertici che i punti di tangenza dei vertici con la circonferenza interna. Cosa possiamo dedurre da questo grafico?
[img]https://imgur.com/uWSO1UV[/img]
https://imgur.com/uWSO1UV
EDIT: Mi sono accorto che manca un punto di tangenza che non ho segnato. Riesci ad individuarlo?
"Marco1005":
Ho trovato questa definizione:
"Il lato obliquo di un trapezio isoscele circoscritto ad una circonferenza è uguale alla semisomma delle basi del trapezio stesso"
Quindi in teoria se prendo la semisomma delle basi $(4/4x+5/4x)/2$ ottengo una diagonale
moltiplico per due e ottengo la misura di due diagonali
sommo tutto e pongo uguale al perimetro e dovrebbe riuscire correttamente no?
Yessssssssssssssssss
"DavidGnomo":
Rieccomi! Il perimetro è giusto.
La circonferenza invece è contenuta nel trapezio, inoltre i punti esterni alla circonferenza sono proprio i vertici del poligono. Vedi nel disegno seguente, ho segnato sia i vertici che i punti di tangenza dei vertici con la circonferenza interna. Cosa possiamo dedurre da questo grafico?
[img]https://imgur.com/uWSO1UV[/img]
https://imgur.com/uWSO1UV
EDIT: Mi sono accorto che manca un punto di tangenza che non ho segnato. Riesci ad individuarlo?
manca quello tra il punto F e il punto E. Si ho ricopiato il disegno sbagliato pardon. Ma continuo a non capire perchè il mio ragionamento non va bene. Sto finendo i neuroni
"Marco1005":
manca quello tra il punto F e il punto E. Si ho ricopiato il disegno sbagliato pardon. Ma continuo a non capire perchè il mio ragionamento non va bene. Sto finendo i neuroni
Va bene è solo che non l'avevo letto. Non capisco perchè quando compare l'immagine della pubblicità mi scrolla male e mi fa saltare un pezzo del forum!
Altezza del trapezio è il diametro della circonferenza? ma non credo serva è un dato che non ho
allora se:
$(4/4x+9/4x)*2=162 dm$
base minore $x=36 dm$
lato maggiore $45 dm$
diagonali $40,5 dm$ ciascuna per un totale di 162 dm.
Giusto?
$(4/4x+9/4x)*2=162 dm$
base minore $x=36 dm$
lato maggiore $45 dm$
diagonali $40,5 dm$ ciascuna per un totale di 162 dm.
Giusto?
Esatttoooooooooo. Hai vinto!
"DavidGnomo":
Esatttoooooooooo. Hai vinto!
Grazie David
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