Problemi sull'area del prisma
La base di un prisma retto è un rombo avente il perimetro di 70 cm e una diagonale di 21 cm. Calcola l'altezza del prisma sapendo che la sua superficie totale misura 1428 cm ².
Solo questo problema che non ho capito, Aiutatemi perfavire che la geometria non è il mio forte
Il risultato è 12 cm
Solo questo problema che non ho capito, Aiutatemi perfavire che la geometria non è il mio forte
Il risultato è 12 cm
Risposte
SOLUZIONE
Disegniamo il prisma. Indichiamo la base con ABCD e con O il punto di incontro delle due diagonali. Le due diagonali sono BD e AC. Del rombo conosciamo la misura del perimetro e della diagonale AC (=la minore)
Calcoliamo l'area del rombo. Per raggiungere questo obiettivo, mi serve la misura delle due diagonali. Osserviamo per questo il rombo
Il triangolo BCO e' un triangolo rettangolo di cui posso arrivare a conoscere l'ipotenusa BC e il cateto OB. Infatti
2p : 4 = 7o : 4 = cm 17,5 lato del rombo
OC . 2 = 21 : 2 = cm 10,5 misura della meta' di una diagonale
Siccome l'area del rombo si ottiene moltiplicando le due diagonali e dividendo il prodotto per 2, per procedere ci manca la misura dell'altra diagonale
Applico il teorema di Pitagora al triangolo BCO e ottengo cm 14, cioè la misura della metà dell'altra diagonale (BO)
Moltiplicando per 2 OB ottengo la misura della diagonale maggiore BD:
cm 14 . 2 = 28 cm
A questo punto, possiamo calcolare l'area del rombo, cioe' della base del prisma: Diagonale maggiore . diagonale minore/2 = 28 . 21/2 = 294 cm2
Ora lavoriamo sul prisma di cui conosciamo l'area totale (St = 1428 cm2)
Se dall area totale tolgo l'area delle due basi (cioe' dei due rombi) ottengo l'area laterale:
cm2 1428 - 2 . 294 = cm2 1428 - 588 = cm2 840
Sappiamo che l'area laterale e' formata da 4 facce uguali (= 4 rettangoli. Di ognuno di esso conosciamo la base che coincide con il lato del rombo (= 17,5)
Per conoscere l'area di una faccia, basta dividere larea laterale per 4, cioe':
cm2 840 : 4 = cm2 210 (area di una faccia del prisma)
Se divido l'area per la misura della base, ottengo la misura dell'altezza:
cm 210 : 17,50 = cm 12
TI E' CHIARO IL PROCEDIMENTO?
Disegniamo il prisma. Indichiamo la base con ABCD e con O il punto di incontro delle due diagonali. Le due diagonali sono BD e AC. Del rombo conosciamo la misura del perimetro e della diagonale AC (=la minore)
Calcoliamo l'area del rombo. Per raggiungere questo obiettivo, mi serve la misura delle due diagonali. Osserviamo per questo il rombo
Il triangolo BCO e' un triangolo rettangolo di cui posso arrivare a conoscere l'ipotenusa BC e il cateto OB. Infatti
2p : 4 = 7o : 4 = cm 17,5 lato del rombo
OC . 2 = 21 : 2 = cm 10,5 misura della meta' di una diagonale
Siccome l'area del rombo si ottiene moltiplicando le due diagonali e dividendo il prodotto per 2, per procedere ci manca la misura dell'altra diagonale
Applico il teorema di Pitagora al triangolo BCO e ottengo cm 14, cioè la misura della metà dell'altra diagonale (BO)
Moltiplicando per 2 OB ottengo la misura della diagonale maggiore BD:
cm 14 . 2 = 28 cm
A questo punto, possiamo calcolare l'area del rombo, cioe' della base del prisma: Diagonale maggiore . diagonale minore/2 = 28 . 21/2 = 294 cm2
Ora lavoriamo sul prisma di cui conosciamo l'area totale (St = 1428 cm2)
Se dall area totale tolgo l'area delle due basi (cioe' dei due rombi) ottengo l'area laterale:
cm2 1428 - 2 . 294 = cm2 1428 - 588 = cm2 840
Sappiamo che l'area laterale e' formata da 4 facce uguali (= 4 rettangoli. Di ognuno di esso conosciamo la base che coincide con il lato del rombo (= 17,5)
Per conoscere l'area di una faccia, basta dividere larea laterale per 4, cioe':
cm2 840 : 4 = cm2 210 (area di una faccia del prisma)
Se divido l'area per la misura della base, ottengo la misura dell'altezza:
cm 210 : 17,50 = cm 12
TI E' CHIARO IL PROCEDIMENTO?
Grazie Mille, tutto chiarissimo. Grazie a lei potro' prendere un bel voto all'interrogazione.
Ma potrei anche fare 840 diviso 70 e mi viene lo stesso risultato, va bene?
Ma potrei anche fare 840 diviso 70 e mi viene lo stesso risultato, va bene?
Sì, e' la stessa cosa. Infatti l'area laterale si trova facendo perimetro di base per altezza. Per cui possiamo ricavare la formula inversa altezza = Area laterale : perimetro di base
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