Problemi geometria solida chi li sa fare?
Aiuto ho questi problemi di geometria ke sono lunghissimi e non so da dove iniziare per risolverli!!
Chi li sa fare? Ecco i problemi:
280) Un solido è formato da un prisma regolare quadrangolare, avente lo spigolo di base lungo 30 cm, e da una piramide sovrapposta avente l'apotema lungo 37 cm e lo spigolo di base 24 cm. Sapendo che il prisma è equivalente ai 15/16 della piramide, calcola l'area della superficie totale e il volume del solido. [3840
286) Una piramide quadrangolare regolare, avente l'apotema lungo 39 cm e l'area della superficie laterale di 2340
297) Un obelisco è composto da una colonna di marmo ( ps 2,6) a forma di prisma triangolare regolare, alto 2,3 m, con una base coincidemte con quella di una piramide retta di bronzo( ps 8,95 ), le cui facce laterali sono triangoli equilateri di lato 50 cm. Calcola il peso complessivo dell'obelisco. [ 779,16 kg ]
Chi li sa fare? Ecco i problemi:
280) Un solido è formato da un prisma regolare quadrangolare, avente lo spigolo di base lungo 30 cm, e da una piramide sovrapposta avente l'apotema lungo 37 cm e lo spigolo di base 24 cm. Sapendo che il prisma è equivalente ai 15/16 della piramide, calcola l'area della superficie totale e il volume del solido. [3840
[math]cm2[/math]
13020 [math]cm3[/math]
]286) Una piramide quadrangolare regolare, avente l'apotema lungo 39 cm e l'area della superficie laterale di 2340
[math]cm2[/math]
,viene secata con un piano parallelo alla base e distante dal suo vertice 24 cm. Una delle parti così ottenute è una seconda piramide; calcolane la superficie totale e il volume. [1440 [math]cm2[/math]
3200 [math]cm3[/math]
]297) Un obelisco è composto da una colonna di marmo ( ps 2,6) a forma di prisma triangolare regolare, alto 2,3 m, con una base coincidemte con quella di una piramide retta di bronzo( ps 8,95 ), le cui facce laterali sono triangoli equilateri di lato 50 cm. Calcola il peso complessivo dell'obelisco. [ 779,16 kg ]
Risposte
280)
Innanzi tutto vediamo di calcolare il volume della piramide.
Per prima cosa, con il teorema di pitagora, cerchiamo l'altezza della piramide:
hp = sqr (a^2 - (lp/2)^2), con a = apotema e lp = spigolo di base della piramide
hp = sqr (37^2 - (24/2)^2)) = sqr 1225 = 35 cm
Vp = (lp^2 * hp)/3 = (24^2 * 35)/3 = 6720 cm^3
A questo punto possiamo calcolare il volume del prisma, sapendo che equivale ai 15/16 della piramide:
Vc = (15/16) * Vp = (15/16) * 6720 = 6300 cm^3
Il volume totale del solido sarà quindi:
Vt = Vp + Vc = 6720 + 6300 = 13020 cm^3
Con Vc ci possiamo calcolare l'altezza del prisma:
Hpr = Vc / lpr^2 = 6300 / 30^2 = 7 cm
Con questi dati ci possiamo calcolare la superficie totale del solito:
Slpr = 4*lpr * hpr = 4*30 * 7 = 840 cm^2
Slp = 2*lp * a = 2*24 * 37 = 1776 cm^2
Sbpr = lpr^2 = 30^2 = 900 cm^
S = Sbpr - Sbp = 30^2 - 24^2 = 324 cm^2 (questo è il contorno della base del prisma che rimane scoperta dalla base della piramide)
St = Slpr + Slp + Sbpr + S = 840 + 1776 + 900 + 324 = 3840 cm^2
... ecco il primo, a seguire gli altri
Innanzi tutto vediamo di calcolare il volume della piramide.
Per prima cosa, con il teorema di pitagora, cerchiamo l'altezza della piramide:
hp = sqr (a^2 - (lp/2)^2), con a = apotema e lp = spigolo di base della piramide
hp = sqr (37^2 - (24/2)^2)) = sqr 1225 = 35 cm
Vp = (lp^2 * hp)/3 = (24^2 * 35)/3 = 6720 cm^3
A questo punto possiamo calcolare il volume del prisma, sapendo che equivale ai 15/16 della piramide:
Vc = (15/16) * Vp = (15/16) * 6720 = 6300 cm^3
Il volume totale del solido sarà quindi:
Vt = Vp + Vc = 6720 + 6300 = 13020 cm^3
Con Vc ci possiamo calcolare l'altezza del prisma:
Hpr = Vc / lpr^2 = 6300 / 30^2 = 7 cm
Con questi dati ci possiamo calcolare la superficie totale del solito:
Slpr = 4*lpr * hpr = 4*30 * 7 = 840 cm^2
Slp = 2*lp * a = 2*24 * 37 = 1776 cm^2
Sbpr = lpr^2 = 30^2 = 900 cm^
S = Sbpr - Sbp = 30^2 - 24^2 = 324 cm^2 (questo è il contorno della base del prisma che rimane scoperta dalla base della piramide)
St = Slpr + Slp + Sbpr + S = 840 + 1776 + 900 + 324 = 3840 cm^2
... ecco il primo, a seguire gli altri
scusa se te lo chiedo ma come si chiama il tuo libro di geometria, se si chiama matematica attiva 3B dimmi a che pagina sono così ti aiuto!
No... il mio libro si chiama Realtà e modelli 3b.
ah ok
286)
Iniziamo con il calcolare il lato della piramide iniziale:
Sl = 2*l * a
l = Sl/(2*a) = 2340/(2*39) = 30 cm
Con il teorema di pitagora ci calcoliamo l'altezza:
h = sqr (a^2 - (l/2^2)) = sqr (39^2 - (30/2)^2) = sqr 1296 = 36 cm
Essendo i triangoli formati da apotema, altezza e semibase delle due piramidi, triangoli simili, si possono mettere in proporzione i singoli elementi e ricavare le misure dell'apotema e del lato della piramide più piccola:
h1 : h = a1 : a
ricaviamo l'apotema a1:
a1 = (h1 * a)/ h = (24 * 39) / 36 = 26 cm
h1 : h = l1/2 : l/2
ricaviamo il semilato l1/2
l1/2 = (h1 * l/2) / h = (24 * (30/2)) / 36 = 10 cm
da cui l1 = 20 cm
Il volume e la superficie laterale sarà pari a:
V1 = l1^2 * h1 / 3 = 20^2 * 24 / 3 = 3200 cm^3
St = 2*l1*a1 + l1^2 = 2*20 * 26 + 20^2 = 1440 cm^2
Iniziamo con il calcolare il lato della piramide iniziale:
Sl = 2*l * a
l = Sl/(2*a) = 2340/(2*39) = 30 cm
Con il teorema di pitagora ci calcoliamo l'altezza:
h = sqr (a^2 - (l/2^2)) = sqr (39^2 - (30/2)^2) = sqr 1296 = 36 cm
Essendo i triangoli formati da apotema, altezza e semibase delle due piramidi, triangoli simili, si possono mettere in proporzione i singoli elementi e ricavare le misure dell'apotema e del lato della piramide più piccola:
h1 : h = a1 : a
ricaviamo l'apotema a1:
a1 = (h1 * a)/ h = (24 * 39) / 36 = 26 cm
h1 : h = l1/2 : l/2
ricaviamo il semilato l1/2
l1/2 = (h1 * l/2) / h = (24 * (30/2)) / 36 = 10 cm
da cui l1 = 20 cm
Il volume e la superficie laterale sarà pari a:
V1 = l1^2 * h1 / 3 = 20^2 * 24 / 3 = 3200 cm^3
St = 2*l1*a1 + l1^2 = 2*20 * 26 + 20^2 = 1440 cm^2
L'ultimo ti prego dimmi che ti viene! :)
297)
Se le facce della piramide sono triangoli equilateri, anche la base è un medesimo triangolo equilatero, per cui avrà superficie pari a:
Sb = (l^2 * sqr(3) / 4 = (50^2 * 1,732) / 4 = 1082,5 cm^2
L'apotema della piramide, equivarrà all'altezza di uno dei triangoli equilateri, per cui:
a = h = (l * sqr (3)) / 2 = (50 * 1,732) / 2 = 43,3 cm
Calcoliamo l'apotema del triangolo di base, che ci servirà per calcolare l'altezza della piramide e quindi il suo volume:
ab = l*f con f=0,289
ab = 50 * 0,289 = 14,45 cm
Applichiamo il teorema di pitagora a questo apotema di base e all'apotema della piramide e ci troviamo l'altezza della piramide stessa:
hp = sqr (a^2 - ab^2) = sqr (43,3^2 - 14,45^2) = sqr 1666,0875 = 40,82 cm circa
Quindi il volume della piramide sarà:
Vp = (Sb * hp)/3 = (1082,5 * 40,82)/ 3 = 14729,22 cm^3 circa
Il volume del prisma triangolare sarà:
Vpr = Sb * hpr = 1082,5 * 230 = 248975 cm^3
La piramide peserà:
Pp = Vp * psp = 14729,22 * 8,95 = 131826,519 g = 131,827 kg circa
Il prisma peserà:
Ppr = Vpr * pspr = 248975 * 2,6 = 647335 g = 647,335 Kg
Il peso totale del complesso sarà:
Pt = Pp + ppr = 131,827 + 647,335 = 779,162 kg
Saluti, Massimiliano
P.S.
sqr = radice quadrata
^ = elevato a...
Aggiunto 23 secondi più tardi:
Ceeertooo che viene!!!
Se le facce della piramide sono triangoli equilateri, anche la base è un medesimo triangolo equilatero, per cui avrà superficie pari a:
Sb = (l^2 * sqr(3) / 4 = (50^2 * 1,732) / 4 = 1082,5 cm^2
L'apotema della piramide, equivarrà all'altezza di uno dei triangoli equilateri, per cui:
a = h = (l * sqr (3)) / 2 = (50 * 1,732) / 2 = 43,3 cm
Calcoliamo l'apotema del triangolo di base, che ci servirà per calcolare l'altezza della piramide e quindi il suo volume:
ab = l*f con f=0,289
ab = 50 * 0,289 = 14,45 cm
Applichiamo il teorema di pitagora a questo apotema di base e all'apotema della piramide e ci troviamo l'altezza della piramide stessa:
hp = sqr (a^2 - ab^2) = sqr (43,3^2 - 14,45^2) = sqr 1666,0875 = 40,82 cm circa
Quindi il volume della piramide sarà:
Vp = (Sb * hp)/3 = (1082,5 * 40,82)/ 3 = 14729,22 cm^3 circa
Il volume del prisma triangolare sarà:
Vpr = Sb * hpr = 1082,5 * 230 = 248975 cm^3
La piramide peserà:
Pp = Vp * psp = 14729,22 * 8,95 = 131826,519 g = 131,827 kg circa
Il prisma peserà:
Ppr = Vpr * pspr = 248975 * 2,6 = 647335 g = 647,335 Kg
Il peso totale del complesso sarà:
Pt = Pp + ppr = 131,827 + 647,335 = 779,162 kg
Saluti, Massimiliano
P.S.
sqr = radice quadrata
^ = elevato a...
Aggiunto 23 secondi più tardi:
Ceeertooo che viene!!!
Grazie! :D
Aggiunto 54 secondi più tardi:
Gli asterischi* sono per (x) vero?
Aggiunto 54 secondi più tardi:
Gli asterischi* sono per (x) vero?
... scusa il ritardo con cui ti rispondo, ma è così: gli asterischi stanno per il segno di moltiplicazione....
... scusami ancora.
:hi
... scusami ancora.
:hi
Nnt Grazie! :D
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