Problemi che faccio fatica a risolvere

[Beffry77]

CIAO A TUTTI HO ESEGUITO I PROBLEMI PER LE VACANZE ESTIVE MA GLI ULTIMI 4 NON RIESCO PROPRIO A FARLI.
PROBLEMA 1: DUE RETTANGOLI SONO ISOPERIMETRICI.IL PRIMO HA L'AREA DI 640 CM2 E LA BASE DI 16 CM.CALCOLA L'AREA DEL SECONDO RETTANGOLO SAPENDO CHE HA L'ALTEZZA CONGRUENTE AI 5/8 DELL'ALTEZZA DEL PRIMO.
PROBLEMA 2:UN TRAPEZIO ISOSCELE,AVENTE L'ALTEZZA DI 40 CM, è EQUIVALENTE A UN RETTANGOLO AVENTE IL PERIMETRO DI 144CM E LA BASE DI 32 CM.VOLENDO AUMENTARE L'AREA DEL TRAPEZIO DI 16 CM2,MANTENENDO INVARIATE LE BASI,COME BISOGNA MODIFICARE L'ALTEZZA DEL TRAPEZIO?
PROBLEMA 3:L'IPOTENUSA DI UN TRIANGOLO RETTANGOLO MISURA 45 CM E UN CATETO è 1 4/3 DELL'ALTRO.SAPENDO CHE IL PERIMETRO DEL TRIANGOLO è DI 108 CM,CALCOLA LA MISURA DELLE PROIEZIONI DEI CATETI SULL'IPOTENUSA.

[anna.supermath]

ciao
Risolvo in ordine i problemi che hai proposto

Problema 1
Rettangolo R1
A1 = 640cm^2
b1 = 16cm
trovo h1 = A1/b1
h1 = (640/16)cm
h1 = 40cm
quindi posso trovare il perimetro del primo rettangolo che è uguale a quello del secondo:
2p1 = 2(16 + 40) cm = 112cm
Rettangolo R2
conoscendo l’altezza del primo rettangolo, h1, posso calcolare l’altezza del secondo, sapendo che
h2 = (5/8)h1
h2 = (5/8)40 cm
h2 = 25cm
Conoscendo il perimetro del secondo rettangolo che è uguale a quello del primo, ricavo la base del secondo rettangolo:
2p2 = 2p1 = 2(b2 + h2)
112 = 2(b2 + 25)
56 = (b2 + 25)
b2 = 31 cm
Adesso posso trovare l’area del secondo rettangolo R2
A2 = (b2)(h2)
A2 = (31)(25) cm^2
A2 = 775cm^2

Problema 2
Il trapezio isoscele ha la stessa area del rettangolo, quindi troviamo tale area.
Del rettangolo conosciamo perimetro, 2pr = 144cm, e base, Br = 32cm, possiamo trovare la sua altezza, Hr:
2pr = 2(Br + Hr)
144 = 2(32 + Hr)
72 = 32 + Hr
Hr = 40cm
Quindi si può calcolare l’area
Ar = (Br)(Hr)
Ar = (32)(40)cm^2
Ar = 1280cm^2
tale area è la stessa del trapezio prima della modifica all’altezza, ossia si ha che:
At = (B + b)h/2
dove
B = base maggiore del trapezio
b = base minore del trapezio
h = 40cm = altezza del trapezio
1280 = (B + b)(40)/2
da cui si ricava che
B + b = 64cm
adesso, mantenendo costante la lunghezza di B e b, quindi di B + b, impostiamo la formula dell’area del trapezio maggiorata di 16cm^2
At + 16 = (B + b)(h +x)/2
dove x è la quantità di cui dovrei aumentare l’altezza per aumentare l’area di 16 cm^2
1280 + 16 = (64)(40 +x)/2
(NB B + b = 64cm)
svolgendo i calcoli
1296 = 32(40 + x)
x = 0,5cm
Ossia per ottenere un trapezio la cui area risulti maggiorata di 16cm^2 rispetto a quella di partenza (lasciando invariate le lunghezze delle sue basi), si deve aumentare l’altezza iniziale di 0,5cm
quindi la nuova altezza deve essere h’ = 40,5cm


Problema 3

Considera il triangolo rettangolo ABC (retto in A)
AB e AC sono i cateti
CB è l’ipotenusa
AH è l’altezza relativa all’ipotenusa
Si pone
AB = x
AC = (4/3)x
Sapendo che il perimetro 2p = 108cm e che CB = 45cm, si impone
2p = AB + CB + CA
2p = x +45 + (4/3)x = 108
7x = 189
x = 27cm
AB = 27cm
AC = (4/3)27 cm
AC = 36cm
Calcolo l’area del triangolo mediante la formula:
A = (AB)(AC)/2
A = (27)(36)/2 cm^2
A = 486cm^2
L’area può essere calcolata anche mediante
A = (CB)(AH)/2
quindi da questa ricavo AH
AH = 2(A)/CB
AH = 2(486)/45 cm
AH = 21,6cm
Trovata l’altezza posso applicare il Teorema di Pitagora ai due triangoli rettangoli AHB e AHC (rettangoli entrambi in H) e trovare le proiezioni HB e HC, rispettivamente.
HB = radice quadrata di (AB)^2 - (AH)^2
HB = radice quadrata di (27)^2 - (21,6)^2
HB = 16,2cm
HC = radice quadrata di (AC)^2 - (AH)^2
HC = radice quadrata di (36)^2 - (21,6)^2
HC = 28,8cm