Problema urgente di geometria!!!!

[Reggino DOC]

Un solido alto 108 cm è formato da due cilindri sovrapposti aventi le basi concentriche e le altezze congruenti. Sapendo che il volume del solido è di 37 921,5 pi greco cm cubi e che il raggio del cilindro minore è lungo 14 cm , calcola l'area della superficie del solido.
Il risultato è : 4 954,5 pi greco cm quadrati.

Grazieeeee

[Max 2433/BO]

Sappiamo che il volume di un cilindro è pari a:

[math] V = \pi\;.\;r^2\;.\;h [/math]

nel nostro caso, essendo due cilindri sovrapposti di raggio diverso, possiamo scrivere:

[math] V = \pi\;.\;r_{max}^2\;.\;h_1\;+\;\pi\;.\;r_{min}^2\;.\;h_2 [/math]

ma il problema ci dice che le altezze dei due cilindri sono congruenti, quindi ognuna sarà, giocoforza, la metà dell'altezza totale fornita dal problema:

[math] V = \pi\;.\;r_{max}^2\;.\;\frac {h_{tot}}{2}\;+\;\pi\;.\;r_{min}^2\;.\;\frac {h_{tot}}{2} [/math]

di questa formula, l'unico dato non fornito dal problema è il raggio massimo, per cui lo andremo a ricavare:

[math] r_{max} = \sqrt {\frac {V\;-\;\pi\;.\;r_{min}^2\;.\;\frac {h_{tot}}{2}}{\pi\;.\;\frac {h_{tot}}{2}}} = [/math]

[math] = \sqrt {\frac {37921,5\pi\;-\;14^2\;.\;54\pi}{54\pi}} = \sqrt {506,25} = 22,5\;cm [/math]

Ora abbiamo tutti i dati per calcolare la superficie totale del nostro solido, che sarà pari alla somma delle due superfici laterali dei singoli cilindri, alla superficie dell'area di base del cilindro di raggio maggiore e di raggio minore e alla superficie dell'anello circolare che rimane nel punto di contatto tra i due cilindri di diverso raggio.

Quindi:

[math] S_t = 2\pi\;.\;r_{max}\;.\;\frac {h_{tot}}{2} + 2\pi\;.\;r_{min}\;.\;\frac {h_{tot}}{2} + \pi\;.\;r_{max}^2 + [/math]

[math] + \pi\;.\;r_{min}^2 + \pi\;.\;(r_{max}^2 - r_{min}^2) [/math]

e semplificando avremo:

[math] S_t = 2\pi\;.\;\frac {h_{tot}}{2}\;.\;(r_{max}+r_{min}) +\pi\;.\;2\;.\;r_{max}^2 = [/math]

[math] = 2\pi\;.\;54\;.\;(22,5\;+\;14)\;+\;\pi\;.\;2\;.\;22,5^2 = 4954,5\pi\;cm^2 [/math]

... ecco a te!

:hi

Massimiliano