Problema terza media
Spero in vostro aiuto, è un esercizio per mia sorella.
Problema:
"La proiezione di un cateto sull'ipotenusa di un triangolo rettangolo misura 4.8 cm e il secondo cateto supera di 1.8 cm la proiezione del cateto stesso. Calcola il peso del solido generato dalla rotazione del solido attorno all'ipotenusa, supponendo che tale solido venga realizzato con materiale di ps= 0.48 g/cm^3"
Risultato [48.83 g]
Grazie a tutti per la disponibilità.
Problema:
"La proiezione di un cateto sull'ipotenusa di un triangolo rettangolo misura 4.8 cm e il secondo cateto supera di 1.8 cm la proiezione del cateto stesso. Calcola il peso del solido generato dalla rotazione del solido attorno all'ipotenusa, supponendo che tale solido venga realizzato con materiale di ps= 0.48 g/cm^3"
Risultato [48.83 g]
Grazie a tutti per la disponibilità.
Risposte
Il regolamento prevede che tu esponga un tentativo, anche solo minuto, di risoluzione.
Io ho pensato in questo modo:
p1= proiezione cateto 1, p2= proiezione cateto 2, c1= cateto 1, c2= cateto 2.
allora
p1= 4.8 cm
c2= 1.8 cm + p2 => p2 = c2 - 1.8 cm
E qui mi blocco.
Trovate le proiezioni e l'altezza del triangolo rettango il problemi si riduce a due coni con altezze diverse (le due proiezioni), trovo i due volumi e li sommo e poi moltiplico per ps.
Che ne pensate?
p1= proiezione cateto 1, p2= proiezione cateto 2, c1= cateto 1, c2= cateto 2.
allora
p1= 4.8 cm
c2= 1.8 cm + p2 => p2 = c2 - 1.8 cm
E qui mi blocco.
Trovate le proiezioni e l'altezza del triangolo rettango il problemi si riduce a due coni con altezze diverse (le due proiezioni), trovo i due volumi e li sommo e poi moltiplico per ps.
Che ne pensate?
Ti propongo il ragionamento che mi è venuto in mente, che sfrutta il primo teorema di Euclide. Chiamando [tex]${C}$[/tex] il vertice in alto [con [tex]$\hat{C}=90^\circ$[/tex]] e rispettivamente [tex]$A$[/tex] e [tex]$B$[/tex] i vertici a sinistra e a destra, sarà [tex]$\overline{AH}$[/tex] la proiezione del cateto [tex]$\overline{AC}$[/tex] sull'ipotenusa [e [tex]$\overline{HB}$[/tex] la proiezione del cateto [tex]$\overline{CB}$[/tex]]. Poiché [tex]$\overlin{HB}=\overline{CB}-1,8$[/tex], [tex]$\overline{AB}=\overline{AH}+\overline{HB}=4,8 + \overline{CB}-1,8=\overline{CB}+3$[/tex] (ometto per comodità l'unità di misura).
Il cateto [tex]$\overline{AC}$[/tex] sarà quindi uguale a [tex]$\sqrt{\overline{AB}^{2}-\overline{CB}^{2}}=\sqrt{[\overline{CB}+3]^{2}-\overline{CB}^{2}}[/tex] (per il teorema di Pitagora).
Il primo teorema di Euclide suggerisce che In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo avente per dimensioni l'ipotenusa e la proiezione di quel cateto sull'ipotenusa stessa; sfruttando tale relazione si avrebbe che [tex]$\overline{AC}^{2}=\overline{AB} \cdot \overline{AH}=[\overline{CB}+3]\cdot4,8$[/tex], da cui [tex]$[\overline{CB}+3]^{2}-\overline{CB}^{2}=[\overline{CB}+3]\cdot4,8$[/tex]. I limiti del ragionamento che ti ho suggerito emergono però in quest'ultimo passaggio, dov'è richiesta la conoscenza dello sviluppo di un binomio elevato al quadrato.
Il cateto [tex]$\overline{AC}$[/tex] sarà quindi uguale a [tex]$\sqrt{\overline{AB}^{2}-\overline{CB}^{2}}=\sqrt{[\overline{CB}+3]^{2}-\overline{CB}^{2}}[/tex] (per il teorema di Pitagora).
Il primo teorema di Euclide suggerisce che In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo avente per dimensioni l'ipotenusa e la proiezione di quel cateto sull'ipotenusa stessa; sfruttando tale relazione si avrebbe che [tex]$\overline{AC}^{2}=\overline{AB} \cdot \overline{AH}=[\overline{CB}+3]\cdot4,8$[/tex], da cui [tex]$[\overline{CB}+3]^{2}-\overline{CB}^{2}=[\overline{CB}+3]\cdot4,8$[/tex]. I limiti del ragionamento che ti ho suggerito emergono però in quest'ultimo passaggio, dov'è richiesta la conoscenza dello sviluppo di un binomio elevato al quadrato.
Risolto utilizzando questo metodo:
Come immagine ho utilizzato questo triangolo rettango
http://www.ripmat.it/mate/f/immagini/figura36.jpg
Dati:
HC = 4.8 cm
AB = 1.8 cm + BH
BH = AB - 1.8 cm
BC = BH + HC = 3 cm + AB
Passo Primo
Utilizzo i due teormi di euclide:
Primo teorema di euclide
AB^2 = BH*BC
da qui ricavo AB in questo modo
AB^2 = (AB - 1.8 cm)*(3 cm + AB)
svolgendo il tutto trova AB = 4.5 cm
Secondo teorema di euclide
AH^2 = BH*CH
da qui ricavo AH in questo modo
AH^2 = (AB - 1.8 cm)*(4.8 cm)
svolgendo il tutto trovo che AH = 3.6 cm
Passo Secondo
Ruotando attorno all'ipotenusa trovo due coni che hanno tali dati:
raggio (h triangolo) = 3.6 cm , h1 (proiezione 1) = 4.8 cm , h2 (proiezione 2) = AB - 1.8 cm = 2.7 cm
Ora trovo i due volumi e li sommo:
V1 = (pi greco * (raggio)^2 * h1)/3 = 65.11104 cm^3
V2 = (pi greco * (raggio)^2 * h2)/3 = 36.62496 cm^3
Vtot = 65.11104 cm^3 + 36.62496 cm^3 = 101.736 cm^3
Peso = ps * Vtot = 0.48 g/cm^3 * 101.736 cm^3 = 48.83 g (approssimato)
Grazie
Come immagine ho utilizzato questo triangolo rettango
http://www.ripmat.it/mate/f/immagini/figura36.jpg
Dati:
HC = 4.8 cm
AB = 1.8 cm + BH
BH = AB - 1.8 cm
BC = BH + HC = 3 cm + AB
Passo Primo
Utilizzo i due teormi di euclide:
Primo teorema di euclide
AB^2 = BH*BC
da qui ricavo AB in questo modo
AB^2 = (AB - 1.8 cm)*(3 cm + AB)
svolgendo il tutto trova AB = 4.5 cm
Secondo teorema di euclide
AH^2 = BH*CH
da qui ricavo AH in questo modo
AH^2 = (AB - 1.8 cm)*(4.8 cm)
svolgendo il tutto trovo che AH = 3.6 cm
Passo Secondo
Ruotando attorno all'ipotenusa trovo due coni che hanno tali dati:
raggio (h triangolo) = 3.6 cm , h1 (proiezione 1) = 4.8 cm , h2 (proiezione 2) = AB - 1.8 cm = 2.7 cm
Ora trovo i due volumi e li sommo:
V1 = (pi greco * (raggio)^2 * h1)/3 = 65.11104 cm^3
V2 = (pi greco * (raggio)^2 * h2)/3 = 36.62496 cm^3
Vtot = 65.11104 cm^3 + 36.62496 cm^3 = 101.736 cm^3
Peso = ps * Vtot = 0.48 g/cm^3 * 101.736 cm^3 = 48.83 g (approssimato)
Grazie
Sì, dovrebbe essere a posto.
Comunque prima avevi sbagliato a calcolare [tex]$\overline{CB}$[/tex]. Svolgendo correttamente i conti si ottiene: [tex]$[\overline{CB}+3]^{2}-\overline{CB}^{2}=[\overline{CB}+3]\cdot4,8 \rightarrow \overline{CB}^{2}+9+6\overline{CB}-\overline{CB}^{2}=4,8\overline{CB}+14,4\,[...]\, \rightarrow 1,2\overline{CB}=5,4 \rightarrow \overline{CB}=4,5$[/tex].
Comunque prima avevi sbagliato a calcolare [tex]$\overline{CB}$[/tex]. Svolgendo correttamente i conti si ottiene: [tex]$[\overline{CB}+3]^{2}-\overline{CB}^{2}=[\overline{CB}+3]\cdot4,8 \rightarrow \overline{CB}^{2}+9+6\overline{CB}-\overline{CB}^{2}=4,8\overline{CB}+14,4\,[...]\, \rightarrow 1,2\overline{CB}=5,4 \rightarrow \overline{CB}=4,5$[/tex].
Stesso modo.. problema un po' calcoloso xD
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