Problema solidi composti!! (205722)

[Caramellina01]

Un solido è formato da un cilindro equilatero, da un cono e da una semisfera. Il cerchio massimo della semisfera e la base del cono coincidono con le basi del cilindro, avventi area di 144pigreco cm2. Sapendo che la superficie del solido è di 1104pigreco cm2, calcola il suo volume.

[SteDV]

Ciao caramellina.

Il volume del solido è ovviamente dato dalla somma dei volumi del cilindro (

[math]V_C[/math]

), della semisfera (

[math]V_S[/math]

) e del cono (

[math]V_K[/math]

).


Cominciamo dal volume del cilindro...
A partire dall'area di base

[math]A_B[/math]

, possiamo calcolarne il raggio.

[math]r = \sqrt{\frac{A_B}{\pi}} = \sqrt{\frac{144\pi}{\pi}} = 12 \text{ cm}[/math]

Poiché il cilindro è equilatero, il diametro di base è congruente alla sua altezza.

[math]h_C = d = 2r = 2 \cdot 12 = 24 \text{ cm}[/math]

Possiamo calcolare il volume.

[math]V_C = A_B \cdot h_C = 144\pi \cdot 24 = 3456\pi \text{ cm}^3[/math]

Passiamo al volume della semisfera...
Il volume di una sfera di raggio

[math]r[/math]

è pari

[math]\frac{4\pi r^3}{3}[/math]

, perciò dobbiamo calcolarlo e ricavarne la metà.

[math]V_S = \frac{4\pi r^3}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4\pi 12^3}{3} \cdot \frac{1}{2} = 2304\pi \cdot \frac{1}{2} = 1152\pi \text{ cm}^3[/math]

Ci resta soltanto il volume del cono...
Per calcolare l'altezza del cono (

[math]h_K[/math]

) dobbiamo ricavarne l'apotema (

[math]a_K[/math]

) dalla superficie laterale. Quindi dobbiamo sottrarre alla superficie dell'intero solido (

[math]S_T[/math]

) le superfici laterali del cilindro (

[math]S_C[/math]

) e della semisfera (

[math]S_S[/math]

).

[math]S_C = 2\pi r \cdot h_C = 2\pi 12 \cdot 24 = 576\pi \text{ cm}^2[/math]

[math]S_S = \frac{4\pi r^2}{2} = \frac{4\pi 12^2}{2} = 288\pi \text{ cm}^2[/math]

[math]S_K = S_T - S_C - S_S = 1104\pi - 576\pi - 288\pi = 240\pi \text{ cm}^2[/math]

[math]a_K = \frac{S_K}{\pi r} = \frac{240\pi}{12\pi} = 20 \text{ cm}[/math]

[math]h_K = \sqrt{a_K^2 - r^2} = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{256} = 16 \text{ cm}[/math]

[math]V_K = \frac{\pi r^2h}{3} = \frac{12^2 \cdot 24\pi}{3} = 1152\pi \text{ cm}^3[/math]

Il volume complessivo del solido risulta...

[math]V_T = V_C + V_S + V_K = 3456\pi + 1152\pi + 1152\pi = 5760\pi \text{ cm}^3[/math]

Dimmi pure se qualcosa non ti è chiaro.
Ti allego il disegno del problema.