Problema piramide (78454)
L' area della superficie laterale di una piramide rombica misura 1250 dm quadrati e una diagonale di base è lunga 30 dm e il raggio del cerchio inscritto nel rombo misura 12 dm calcola l'area della superficie totale e il volume della piramide
Risposte
L' area della superficie laterale di una piramide rombica misura 1250 dm quadrati e una diagonale di base è lunga 30 dm e il raggio del cerchio inscritto nel rombo misura 12 dm calcola l'area della superficie totale e il volume della piramide
Soluzione:
Atot = Abase + Alat = Abase +1250 dm^2
V= Abase x h/3.
Per poter determinare Atot e V occorre conoscere due grandezze: Abase e h (altezza piramide).
Della piramide si conosce però l'area della superficie laterale. Essa è pari a:
Alat = P x a/2 =1250 dm^2.
Dove P è il perimetro della base, mentre a è l'apotema della piramide. Per il momento, però, entrambi sono ignoti.
Il raggio del cerchio inscritto nella base (quindi nel rombo), prende il nome di apotema di base. Esso è pari a 12 dm.
Ora, se si tracciano le diagonali del rombo, si nota che esse lo dividono in quattro triangoli rettangoli identici. L'apotema si ottiene tracciando, a partire dal punto di intersezione tra le diagonali, un segmento perpendicolare al lato del rombo.
Quindi l'apotema divide a sua volta ciascuno dei quattro triangoli rettangoli in due triangoli rettangoli più piccoli.
Il primo ha il cateto verticale pari all'apotema del rombo (12 dm) e l'ipotenusa pari a metà della diagonale nota (30/2=15 dm).
Il cateto orizzontale fa invece parte del lato del rombo. Chiamo questa misura x.
Posso calcolarla con il teorema di Pitagora:
x= radice di (15^2-12^2) = radice di 225-144 = radice di 81 = 9 dm.
L'altro triangolo ha invece il cateto verticale pari all'apotema del rombo (12 dm), l'ipotenusa pari a metà della diagonale ignota, e il cateto orizzontale pari alla restante parte del lato del rombo. Chiamo questa misura y.
Utilizzando il teorema di Pitagora posso scrivere:
y^2= [(d/2)^-12^2] = (d^2/4-144).
Ho quindi due relazioni e tre incognite:
1) x+y=lato rombo cioè 9+y=l
2) y^2= d^2/4-144
Basta trovarne una terza, ed è possibile determinare sia y che l che d. Difatti il numero di equazioni a disposizione dev'essere almeno pari al numero delle incognite.
Procedo dunque utilizzando il primo teorema di Euclide, che dice che: "In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo avente per dimensioni l'ipotenusa e la proiezione di quel cateto sull'ipotenusa stessa."
Detto in parole semplici, prendiamo uno dei quattro triangoli rettangoli in cui le diagonali dividono il rombo. L'apotema è la sua altezza rispetto all'ipotenusa (quest'ultima è il lato del rombo). Dal teorema di Euclide posso dire che:
(d/2)^2 = ly.
Cioè d^2/4 = ly.
Quindi le tre relazioni sono:
1) x+y=l cioè 9+y=l
2) y^2= d^2/4-144
3) d^2/4 = ly.
Sostituisco la prima relazione (l=9+y) nella terza:
d^2/4 = ly = (9+y)y
Cioè d^2/4 = 9y+y^2
Sostituisco questa relazione nella seconda:
y^2= d^2/4-144 = 9y+y^2 -144
Quindi y^2-y^2 = 9y-144
-9y=-144
y= -144/-9= 16 dm
Quindi l= x+y= 16+9 = 25 dm.
E questa è fatta.
Di d sappiamo invece che è pari a: (d/2)^2 = ly.
Quindi d^2/4 = 25x16 = 400;
Quindi d^2 = 400 x 4 = 1600.
Quindi d= 40 dm.
L’area di base è quindi pari a: Dxd/2 = 40 x 30/2 = 600 dm^2
Il perimetro è invece pari a: 25 x 4 = 100 dm.
Posso calcolare l’apotema di base grazie alla relazione:
Alat = P x a/2.
Alat x 2/P= a
apotema = 1250 x 2/100 = 25 dm.
Apotema, apotema di base e altezza della piramide formano un triangolo rettangolo, di cui l’apotema è l’ipotenusa. Per trovare l’altezza h della piramide posso dunque utilizzare il teorema di Pitagora ancora una volta:
h = radice di (25^2-12^2) = radice di (625-144) = radice di 481 = 21,93 dm circa.
Quindi Atot = Atot = Abase + Alat = 600+1250 = 1850 dm^2.
V= Abase x h/3 = 600 x 21,93/3 = 4386 dm^3 circa.
Spero di non aver commesso errori (né di calcolo né di ragionamento). Ciao!
Soluzione:
Atot = Abase + Alat = Abase +1250 dm^2
V= Abase x h/3.
Per poter determinare Atot e V occorre conoscere due grandezze: Abase e h (altezza piramide).
Della piramide si conosce però l'area della superficie laterale. Essa è pari a:
Alat = P x a/2 =1250 dm^2.
Dove P è il perimetro della base, mentre a è l'apotema della piramide. Per il momento, però, entrambi sono ignoti.
Il raggio del cerchio inscritto nella base (quindi nel rombo), prende il nome di apotema di base. Esso è pari a 12 dm.
Ora, se si tracciano le diagonali del rombo, si nota che esse lo dividono in quattro triangoli rettangoli identici. L'apotema si ottiene tracciando, a partire dal punto di intersezione tra le diagonali, un segmento perpendicolare al lato del rombo.
Quindi l'apotema divide a sua volta ciascuno dei quattro triangoli rettangoli in due triangoli rettangoli più piccoli.
Il primo ha il cateto verticale pari all'apotema del rombo (12 dm) e l'ipotenusa pari a metà della diagonale nota (30/2=15 dm).
Il cateto orizzontale fa invece parte del lato del rombo. Chiamo questa misura x.
Posso calcolarla con il teorema di Pitagora:
x= radice di (15^2-12^2) = radice di 225-144 = radice di 81 = 9 dm.
L'altro triangolo ha invece il cateto verticale pari all'apotema del rombo (12 dm), l'ipotenusa pari a metà della diagonale ignota, e il cateto orizzontale pari alla restante parte del lato del rombo. Chiamo questa misura y.
Utilizzando il teorema di Pitagora posso scrivere:
y^2= [(d/2)^-12^2] = (d^2/4-144).
Ho quindi due relazioni e tre incognite:
1) x+y=lato rombo cioè 9+y=l
2) y^2= d^2/4-144
Basta trovarne una terza, ed è possibile determinare sia y che l che d. Difatti il numero di equazioni a disposizione dev'essere almeno pari al numero delle incognite.
Procedo dunque utilizzando il primo teorema di Euclide, che dice che: "In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo avente per dimensioni l'ipotenusa e la proiezione di quel cateto sull'ipotenusa stessa."
Detto in parole semplici, prendiamo uno dei quattro triangoli rettangoli in cui le diagonali dividono il rombo. L'apotema è la sua altezza rispetto all'ipotenusa (quest'ultima è il lato del rombo). Dal teorema di Euclide posso dire che:
(d/2)^2 = ly.
Cioè d^2/4 = ly.
Quindi le tre relazioni sono:
1) x+y=l cioè 9+y=l
2) y^2= d^2/4-144
3) d^2/4 = ly.
Sostituisco la prima relazione (l=9+y) nella terza:
d^2/4 = ly = (9+y)y
Cioè d^2/4 = 9y+y^2
Sostituisco questa relazione nella seconda:
y^2= d^2/4-144 = 9y+y^2 -144
Quindi y^2-y^2 = 9y-144
-9y=-144
y= -144/-9= 16 dm
Quindi l= x+y= 16+9 = 25 dm.
E questa è fatta.
Di d sappiamo invece che è pari a: (d/2)^2 = ly.
Quindi d^2/4 = 25x16 = 400;
Quindi d^2 = 400 x 4 = 1600.
Quindi d= 40 dm.
L’area di base è quindi pari a: Dxd/2 = 40 x 30/2 = 600 dm^2
Il perimetro è invece pari a: 25 x 4 = 100 dm.
Posso calcolare l’apotema di base grazie alla relazione:
Alat = P x a/2.
Alat x 2/P= a
apotema = 1250 x 2/100 = 25 dm.
Apotema, apotema di base e altezza della piramide formano un triangolo rettangolo, di cui l’apotema è l’ipotenusa. Per trovare l’altezza h della piramide posso dunque utilizzare il teorema di Pitagora ancora una volta:
h = radice di (25^2-12^2) = radice di (625-144) = radice di 481 = 21,93 dm circa.
Quindi Atot = Atot = Abase + Alat = 600+1250 = 1850 dm^2.
V= Abase x h/3 = 600 x 21,93/3 = 4386 dm^3 circa.
Spero di non aver commesso errori (né di calcolo né di ragionamento). Ciao!
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