Problema Geometria con angoli Seconda media
Nel quadrilatero ABCD, inscritto in una circonferenza, la diagonale AC lo divide in due triangoli. Un trinagolo e' isoscele ed ha l'angolo al vertice di 30 gradi e per base la diagonale del quadrilatero. L'altro e' un trinagolo scaleno ed ha gli angoli adiacenti alla diagonale AC, l'uno il doppio dell'altro. Calcola la misura dell'ampiezza degli angoli del quadrilatero.
Grazie per chi risolve
Grazie per chi risolve
Risposte
Ciao Irene, sono un po' arrugginito con questa tipologia di esercizi, ma cerchero' di ragionarci un po'.
Allora, abbiamo un quadrilatero inscritto in una circonferenza, con la diagonale AC che divide il nostro quadrilatero in due triangoli, uno isoscele e l'altro scaleno.
Sappiamo che il triangolo isoscele ha l'angolo al vertice che misura 30, inoltre, sappiamo che la somma totale degli angoli di un triangolo e' 180, quindi, essendo un triangolo isoscele i due angoli alla base hanno la stessa misura:
Adesso, possiamo sfruttare un teorema dei quadrilateri iscritti alla circonferenza che dice:
Se un quadrilatero e' inscritto in una circonferenza allora gli angoli opposti sono supplementari
Ricordiamo che questa e' sempre valida per quadrelateri inscritti in circonferenza in quanto la somma di tutti gli angoli deve fornire 360 [deg]. Quindi, in virtu' di quanto detto, possiamo trovare la misura dell'angolo Beta:
Adesso, conosciamo il vertice del triangolo scaleno e, ricordando che la somma degli angoli di un qualsiasi triangolo e' pari a 180[deg], possiamo trovare gli angoli alla base:
Quindi, abbiamo trovato tutti gli angoli richiesti.
Facciamo un'ultima verifica, ovvero, citando la definizione di prima:
Se un quadrilatero e' inscritto in una circonferenza allora gli angoli opposti sono supplementari
Verifichiamola per questi ultimi angoli trovati:
Fine esercizio
Adesso, alleghero' anche un'immagine che rendera' il tutto piu' chiaro. Spero di esserti stato d'aiuto.
Buona giornata.
Allora, abbiamo un quadrilatero inscritto in una circonferenza, con la diagonale AC che divide il nostro quadrilatero in due triangoli, uno isoscele e l'altro scaleno.
Sappiamo che il triangolo isoscele ha l'angolo al vertice che misura 30, inoltre, sappiamo che la somma totale degli angoli di un triangolo e' 180, quindi, essendo un triangolo isoscele i due angoli alla base hanno la stessa misura:
[math] \alpha = \frac{180}{2} = 75 [/math]
Adesso, possiamo sfruttare un teorema dei quadrilateri iscritti alla circonferenza che dice:
Se un quadrilatero e' inscritto in una circonferenza allora gli angoli opposti sono supplementari
Ricordiamo che questa e' sempre valida per quadrelateri inscritti in circonferenza in quanto la somma di tutti gli angoli deve fornire 360 [deg]. Quindi, in virtu' di quanto detto, possiamo trovare la misura dell'angolo Beta:
[math] \beta = 180-30 = 150 [/math]
Adesso, conosciamo il vertice del triangolo scaleno e, ricordando che la somma degli angoli di un qualsiasi triangolo e' pari a 180[deg], possiamo trovare gli angoli alla base:
[math] x = 180-150-2x [/math]
[math] 3x = 30 [/math]
[math] x=10 [/math]
Quindi, abbiamo trovato tutti gli angoli richiesti.
Facciamo un'ultima verifica, ovvero, citando la definizione di prima:
Se un quadrilatero e' inscritto in una circonferenza allora gli angoli opposti sono supplementari
Verifichiamola per questi ultimi angoli trovati:
[math] (\alpha+x)+(\alpha+2x) = (75+10)+(75+20) = 180 [/math]
Fine esercizio
Adesso, alleghero' anche un'immagine che rendera' il tutto piu' chiaro. Spero di esserti stato d'aiuto.
Buona giornata.
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