Problema di geometria terza media, trapezio circoscritto ad una circonferenza
Un trapezio ABCD rettangolo( retto in A e D con A vertice basso a sinistra) è circoscritto a una circonferenza di area 144π $cm^2$. Calcola perimetro e area del trapezio sapendo che il segmento BM misura 16 cm, con M punto di tangenza fra lato obliquo e circonferenza.
Io ho inziato trovando facilmente il raggio e il lato AD che è congruente al diametro.
Chiamo N e P i punti di tangenza della corconferenza con base maggiore e base minore del trapezio. DP è uguale al raggio così come AN. Poi ho ragionato sui triangoli MOB( O centro della circonferenza) e BON che sono congruenti e rettangoli(sbaglio?) quindi anche NP è 16 cm. Ecco, qui mi blocco, non riesco a trovare i segmenti CM e CP. Mi perdo forse in un bicchier d'acqua?
Grazie in anticipo a tutti.
Io ho inziato trovando facilmente il raggio e il lato AD che è congruente al diametro.
Chiamo N e P i punti di tangenza della corconferenza con base maggiore e base minore del trapezio. DP è uguale al raggio così come AN. Poi ho ragionato sui triangoli MOB( O centro della circonferenza) e BON che sono congruenti e rettangoli(sbaglio?) quindi anche NP è 16 cm. Ecco, qui mi blocco, non riesco a trovare i segmenti CM e CP. Mi perdo forse in un bicchier d'acqua?
Grazie in anticipo a tutti.
Risposte
Usa il terorema di Pitagora sul triangolo rettangolo BCH dove H è il punto su AB su cui cade l'altezza tracciata da C.
Hai una sola incognita.
Cordialmente, Alex
Hai una sola incognita.
Cordialmente, Alex
"axpgn":
Usa il terorema di Pitagora sul triangolo rettangolo BCH dove H è il punto su AB su cui cade l'altezza tracciata da C.
Hai una sola incognita.
Cordialmente, Alex
Ciao alex, intanto grazie per la risposta. Dimmi se sbaglio, però del triangolo BCH conosciamo solo l'altezza quindi le incognite sono due.
Filippo
Siamo sicuri che il problema sia adatto ad uno studente di scuola media?
Ad ogni modo io ragionerei sul poligono $ONBM$
dove $O$ è il cento della circonferenza inscritta e $N$ e $M$ sono i punti di tangenza tra i lati del trapezio e la circonferenza.
Come sono i segmanti $ON$ e $OM$? e i segmenti $NB$ e $MB$?
Ad ogni modo io ragionerei sul poligono $ONBM$
dove $O$ è il cento della circonferenza inscritta e $N$ e $M$ sono i punti di tangenza tra i lati del trapezio e la circonferenza.
Come sono i segmanti $ON$ e $OM$? e i segmenti $NB$ e $MB$?
"filippo901":
[quote="axpgn"]Usa il terorema di Pitagora sul triangolo rettangolo BCH dove H è il punto su AB su cui cade l'altezza tracciata da C.
Hai una sola incognita.
Cordialmente, Alex
Ciao alex, intanto grazie per la risposta. Dimmi se sbaglio, però del triangolo BCH conosciamo solo l'altezza quindi le incognite sono due.
Filippo[/quote]
No, pensaci bene.
Hai già capito che NB è congruente a BM. Vale lo stesso per la parte superiore. Quindi l'incognita (di fatto) è solo CM=CP.
Nel triangolo BCH, il segmento BH è la differenza tra NB e NH, ma NH è congruente a CP, mentre l'ipotenusa è la somma di BM e CM ma CM=CP=NH e quindi ...
Cordialmente, Alex
"gio73":
Siamo sicuri che il problema sia adatto ad uno studente di scuola media?
Sì. mia nipote di terza media ha ANCHE problemi di questo tipo (Teorema di Pitagora e somma/differenza segmenti)
Cordialmente, Alex
Ciao Filippo, ripartiamo da dove sei arrivato tu: i triangoli BON e BOM sono uguali, quindi NB=MB=16 cm.
Ora considera i triangoli MOC e POC: anche questi sono uguali avendo gli angoli in P e in M uguali perchè retti, l'ipotenusa OC in comune, i lati OP=OM perchè raggi, per cui anche i terzi lati saranno uguali: PC = MC.
Ora considera il triangolo COB: questo è un triangolo rettangolo con angolo retto in O, di cui conosci l'altezza relativa all'ipotenusa (OM) e la proiezione del cateto maggiore sull'ipotenusa (BM).
Applicando il 2° teorema di Euclide BM : OM = OM : MC, ricavi MC in questo modo: MC = OM*OM/BM e a questo punto il gioco è fatto.
Spero leggerai questa risposta.
Ora considera i triangoli MOC e POC: anche questi sono uguali avendo gli angoli in P e in M uguali perchè retti, l'ipotenusa OC in comune, i lati OP=OM perchè raggi, per cui anche i terzi lati saranno uguali: PC = MC.
Ora considera il triangolo COB: questo è un triangolo rettangolo con angolo retto in O, di cui conosci l'altezza relativa all'ipotenusa (OM) e la proiezione del cateto maggiore sull'ipotenusa (BM).
Applicando il 2° teorema di Euclide BM : OM = OM : MC, ricavi MC in questo modo: MC = OM*OM/BM e a questo punto il gioco è fatto.
Spero leggerai questa risposta.
"axpgn":
[quote="filippo901"][quote="axpgn"]Usa il terorema di Pitagora sul triangolo rettangolo BCH dove H è il punto su AB su cui cade l'altezza tracciata da C.
Hai una sola incognita.
Cordialmente, Alex
Ciao alex, intanto grazie per la risposta. Dimmi se sbaglio, però del triangolo BCH conosciamo solo l'altezza quindi le incognite sono due.
Filippo[/quote]
No, pensaci bene.
Hai già capito che NB è congruente a BM. Vale lo stesso per la parte superiore. Quindi l'incognita (di fatto) è solo CM=CP.
Nel triangolo BCH, il segmento BH è la differenza tra NB e NH, ma NH è congruente a CP, mentre l'ipotenusa è la somma di BM e CM ma CM=CP=NH e quindi ...
Cordialmente, Alex[/quote]
Grazie di nuovo per la risposta Alex. Ti sfugge però che NB è incognito.
Saluti
Filippo
"marita":
Ciao Filippo, ripartiamo da dove sei arrivato tu: i triangoli BON e BOM sono uguali, quindi NB=MB=16 cm.
Ora considera i triangoli MOC e POC: anche questi sono uguali avendo gli angoli in P e in M uguali perchè retti, l'ipotenusa OC in comune, i lati OP=OM perchè raggi, per cui anche i terzi lati saranno uguali: PC = MC.
Ora considera il triangolo COB: questo è un triangolo rettangolo con angolo retto in O, di cui conosci l'altezza relativa all'ipotenusa (OM) e la proiezione del cateto maggiore sull'ipotenusa (BM).
Applicando il 2° teorema di Euclide BM : OM = OM : MC, ricavi MC in questo modo: MC = OM*OM/BM e a questo punto il gioco è fatto.
Spero leggerai questa risposta.
Grazie mille. Così facendo il risultato viene giusto. Per curiosità, ti posso chiedere perchè il triangolo BOC è rettangolo? C'è qualche proprietà che mi sfugge?
Grazie in ogni caso per aver dato una soluzione al problema. Ciao!
Immaginavo che me lo avresti chiesto.
Allora, la somma degli angoli POC, COM, MOB, BON è 180°, cioè un angolo piatto.
Questi 180° sono distribuiti su quattro angoli, uguali due a due: POC = COM e MOB = BON, quindi se sommi uno dei due più piccoli con uno dei due più grandi prendono la metà di 180°, cioè 90° alias angolo retto.
Per esempio, se hai un angolo piatto formato da due angoli di 35° ciascuno e da due angoli di 55° ciascuno, sommando un angolo di 35° con un angolo di 55° ottieni un angolo retto, ed è per questo che il triangolo in questione è retto.
Felice di esserti stata utile
Buonanotte
Allora, la somma degli angoli POC, COM, MOB, BON è 180°, cioè un angolo piatto.
Questi 180° sono distribuiti su quattro angoli, uguali due a due: POC = COM e MOB = BON, quindi se sommi uno dei due più piccoli con uno dei due più grandi prendono la metà di 180°, cioè 90° alias angolo retto.
Per esempio, se hai un angolo piatto formato da due angoli di 35° ciascuno e da due angoli di 55° ciascuno, sommando un angolo di 35° con un angolo di 55° ottieni un angolo retto, ed è per questo che il triangolo in questione è retto.
Felice di esserti stata utile
Buonanotte
"filippo901":
Grazie di nuovo per la risposta Alex. Ti sfugge però che $NB$ è incognito.
Saluti
Filippo
Non è incognito, è congruente a $BM$ (l'ho anche scritto)
Cosi come $CM$ è congruente a $CP$.
Quindi hai un cateto (l'altezza $CH$), l'altro cateto è pari a $NB-NH=BM-NH=16-NH$ e l'ipotenusa è pari a $BM+CM=BM+CP=BM+NH=16+NH$. Ok?
Quindi applichi il teorema di Pitagora nel quale l'unica incognita è $NH$ alias $CP$ alias $CM$. Chiaro?
Cordialmente, Alex
"axpgn":
[quote="filippo901"]
Grazie di nuovo per la risposta Alex. Ti sfugge però che $NB$ è incognito.
Saluti
Filippo
Non è incognito, è congruente a $BM$ (l'ho anche scritto)
Cosi come $CM$ è congruente a $CP$.
Quindi hai un cateto (l'altezza $CH$), l'altro cateto è pari a $NB-NH=BM-NH=16-NH$ e l'ipotenusa è pari a $BM+CM=BM+CP=BM+NH=16+NH$. Ok?
Quindi applichi il teorema di Pitagora nel quale l'unica incognita è $NH$ alias $CP$ alias $CM$. Chiaro?
Cordialmente, Alex[/quote]
Scusa avevo sbagliato a scrivere, NH è incognito.
Filippo
Grazie per la seconda perfetta spiegazione.
Ciao e buonanotte anche a te
Ciao e buonanotte anche a te
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