Problema di geometria, terza media.

[CrittyDirectioner]

Un cubo presenta una cavità a forma di piramide regolare quadrangolare con il contorno della base coincidente con quello della base superiore del cubo. Sapendo che l'apotema misura 15 cm, che lo spicgolo di base della piramide è 8/3 della sua altezza, calcola l'area della superficie totale e il volume del solido.
Risultato: [3600 cm*; 12096 cm*cubi]

GRAZIE

[Max 2433/BO]

Consideriamo lo spigolo di base della piramide (che poi coincide con lo spigolo del cubo) e l'altezza della stessa come segmenti:

altezza (h): |- - -| = 3 unità

spigolo di base (l): |- - - - - - - -| = 8 unità (pari a 8/3 di h)

Dal t. di Pitagora sappiamo che l'apotema (a) di una piramide a base quadrata è pari a:

a^2 = (l/2)^2 + h^2

per cui, sostituendo, possiamo scrivere:

15^2 = (8/2 unità)^2 + (3 unità)^2

225 = 25 unità^2

da qui ricaviamo la misura di una unità^2:

1 unità^2 = 225/25 = 9 cm^2

e da qui la misura di una unità:

1 unita = radice quadrata di (1 unita^2) = radice quadrata di (9) = 3 cm

Adesso abbiamo sia la misura dello spigolo della piramide (e del lato del cubo), sia la misura dell'altezza della piramide:

h = 3 unità = 3 x 3 = 9 cm

l = 8 unità = 8 x 3 = 24 cm

Adesso passiamo al calcolo dei volumi:

Vcubo = l^3 = 24^3 = 13824 cm^3

Vpiramide = (Sb x h)/3 = (l^2 x h)/3 = (24^2 x 9) / 3 = 1728 cm^3

Il volume del solido cubo/foro piramidale sarà allora pari a:

Vsolido = Vcubo - Vpiramide = 13824 - 1728 = 12096 cm^3

... adesso mi fermo un attimo x la pausa pranzo :) poi ti faccio vedere i calcoli per trovare la superficie totale

:hi

Aggiunto 1 ora 51 minuti più tardi:

Rieccomi...

Allora calcoliamo la sup. totale di questo solido "bucato" :)

Innanzi tutto del cubo noi avremo a disposizione la superficie di 5 facce su 6 perchè sulla sesta è presente il foro piramidale, quindi:

Scubo = 5 x l^2 = 5 x 24^2 = 2880 cm^2

Adesso calcoliamo la superficie esposta del buco, che altro non è che la superficie laterale della piramide:

Slpiramide = (P/2) x a = 2 x l x a = 2 x 24 x 15 = 720 cm^2

Nota: P è il perimetro di base della piramide

di conseguenza la sup. totale del solido sarà:

Stsolido = Scubo + Slpiramide = 2880 + 720 = 3600 cm^2

... finito!!

:hi

Massimiliano