Problema di geometria (94502)

[algebra]

in una circonferenza è inscritto un trapezio isoscele di altezza 63 cm. Sapendo che il centro della circonferenza divide l'altezza in due parti che sono una i 3/4 dell'altra e che il raggio di 45 cm, trova l'area del trapezio.

[Max 2433/BO]

Ti allego la figura del tuo problema così la soluzione ti è più chiara:

Come puoi vedere i triangoli DOC e AOB sono isosceli in quanto i lati obliqui sono uguali al raggio della circonferenza.

Sappiamo che, in un triangolo isoscele il piede dell'altezza, riferita alla base, e punto medio della base stessa, quindi, considerando i triangoli rettangoli DOK (o COK) e AOJ (o BOJ) possiamo calcolarci la misura delle rispettive semibasi e, di conseguenza la misura delle basi.

Innanzi tutto calcoliamo la misura di OJ e OK

Sappiamo che una è i 3/4 dell'altra, quindi, rappresentandole come segmenti, possiamo scrivere:

OK = |- - - -| = 4 unità

OJ = |- - -| = 3 unità (i 3/4 di OK)

h = KJ = OK + OJ = 63 cm

quindi

h = 4 unità + 3 unità = 7 unità = 63 cm

ricaviamo il valore di una unità

1 unità = 63/7 = 9 cm

da cui ricaviamo

OK = 4 unità = 4*9 = 36 cm

OJ = 3 unità = 3*9 = 27 cm

A questo punto non ci resta che applicare il T. di Pitagora ai due triangoli AOJ e DOK per ricavare le misure dei rispettivi cateti AJ e DK:

[math] AJ = \sqrt {r^2 - OJ^2} = \sqrt {45^2-27^2} = 36 \;cm [/math]

[math] DK = \sqrt {r^2-OK^2} = \sqrt {45^2-36^2} = 27 \; cm [/math]

Le misure della base maggiore e minore del trapezio saranno allora pari a:

Base minore (Bm) = DC = 2*DK = 2*27 = 54 cm

Base maggiore (BM) = AB = 2*AJ = 2*36 = 72 cm

L'area del trapezio, infine:

[math] A= \frac {(Bm+BM)\;.\;h}{2} = \frac {(54+72)\;.\;63}{2} = 3969 \;cm^2 [/math]

... ecco fatto!

:hi

Massimiliano