Problema di geometria...?!

[wendy_22]

Qualcuno mi può aiutare con questo problema di geometria?
Un triangolo equilatero è isoperimetrico a un rettangolo il cui perimetro è 78 cm e le cui dimensioni sono una i 7/8 dell' altra. calcola la differenza tra le aree dei due poligoni. (85,852)

[SteDV]

Ciao di nuovo Wendy! :)

I dati a tua disposizione riguardano il perimetro del rettangolo e il rapporto tra le sue dimensioni (la base

[math]b_R[/math]

e altezza

[math]h_R[/math]

), perciò devi cominciare a ricavarle.
Per farlo, devi impostare la seguente equazione:

[math]2b_R + 2h_R = 78[/math]

Significa, semplicemente, che il perimetro del rettangolo (

[math]78 \text{ cm}[/math]

]) è dato dalla somma di "due basi" (

[math]2b_R[/math]

) e "due altezze" (

[math]2h_R[/math]

), come senz'altro sai.
A questo punto entra in gioco il rapporto...
Sapendo che una dimensione del rettangolo (diciamo la base, ma è lo stesso) è i

[math]\frac{7}{8}[/math]

dell'altra, puoi scrivere:

[math]b_R = \frac{7}{8}h_R[/math]

Quindi, puoi sostituire

[math]b_R[/math]

con l'espressione

[math]\frac{7}{8}h_R[/math]

nella formula del perimetro e, risolvendo l'equazione, ricavare l'altezza:

[math]2\frac{7}{8}h_R + 2h_R = 78[/math]

[math]\frac{7}{4}h_R + 2h_R = 78[/math]

[math]\frac{15}{4}h_R = 78[/math]

[math]h_R = \frac{4}{15} 78[/math]

[math]h_R = \frac{8}{23} 78[/math]

[math]h_R = 20,8 \text{ cm}[/math]

Ora che conosci l'altezza, puoi riprendere la formula relativa al rapporto tra le due dimensioni del rettangolo e ricavare anche la base:

[math]b_R = \frac{7}{8}h_R = \frac{7}{8}20,8 = 18,2 \text{ cm}[/math]

L'area del rettangolo la calcoli di conseguenza:

[math]A_R = 18,2 \cdot 20,8 = 378,56 \text{ cm}^2[/math]

Con il rettangolo hai finito!

Passiamo ora al triangolo equilatero...
Dal momento che è equilatero e ha lo stesso perimetro del rettangolo, puoi calcolarne facilmente il lato:

[math]l_T = \frac{78}{3} = 26 \text{ cm}[/math]

Per calcolare l'area del triangolo hai bisogno dell'altezza e devi ricordarti questa relazione (che vale per i triangoli equilateri in genere):

[math]h_T = \frac{l_T}{2} \sqrt{3}[/math]

Deriva dal teorema di Pitagora...

[math]h_T = \frac{26}{2} \sqrt{3} = 13 \sqrt{3} = 22,517 \text{ cm}[/math]

[math]A_T = \frac{26 \cdot 22,517}{2} = 292,721 \text{ cm}^2[/math]

La differenza tra le aree è dunque:

[math]378,56 - 292,721 = 85,839 \text{ cm}[/math]

Non è identica al tuo risultato a causa dell'approssimazione, ma il procedimento è questo.

Dimmi pure se qualche passaggio non è chiaro.