Problema di geometria (64005)

[Shady95]

Problema di geometria .

Un prisma retto, avente la misura dell'altezza 27 dm, ha per base un trapezio isoscele che ha la misura del lato obliquo pari ai 6/19 di quella della base maggiore e la loro somma di 50 dm; sapendo che l'altezza del trapezio misura 7,2 dm, calcola il volume del solido .

[strangegirl97]

Il problema ci dà la somma e il rapporto del lato obliquo e della base maggiore, che si può indicare anche sotto forma di proporzione:

[math]l : b_1 = 6 : 19[/math]

Applicando la proprietà del comporre possiamo calcolare la lunghezza del lato obliquo e della base maggiore:

[math](l + b_1) : l = (6 + 19) : 6\\
50 : l = 25 : 6\\
l = \frac{\no{50}^2 * 6} {\no{25}^1} = 2 * 6 = 12\;dm[/math]

Analogamente:

[math](l + b_1) : b_1 = (6 + 19) : 19\\
50 : b_1 = 25 * 19\\
b_1 = \frac{\no{50}^2 * 19} {\no{25}^1} = 2 * 19 = 38\;dm[/math]

Se tracci l'altezza del trapezio ottieni un triangolo rettangolo avente:
- come ipotenusa il lato obliquo del trapezio:
- come cateti l'altezza del trapezio e la proiezione del lato obliquo sulla base maggiore.

Con Pitagora possiamo calcolare la misura della proiezione:

[math]\sqrt{l^2 -h_b^2} = \sqrt{12^2 - 7,2^2} = \sqrt{144 - 51,84} = \sqrt{92,16} = 9,6\;dm[/math]

Per avere la misura della base minore bisogna semplicemente togliere dalla lunghezza della base maggiore quelle delle due proiezioni, che nel trapezio isoscele sono congruenti.

[math]b_2 = 38 - 9,6 * 2 = 38 - 19,2 = 18,8\;dm[/math]

Ora possiamo calcolare l'area di base e successivamente il volume del prisma:

[math]A_b = \frac{(b_1 + b_2) * h_b} {2}= \frac{\left(38 + 18,8\right) * 7,2} {2} = \frac{56,8 * 7,2} {2} = \frac{\no{408,96}^{204,48}} {\no2^1} = 204,48\;dm^2[/math]

[math]V = A_b * h_p = dm^2\;204,48 * 27 = 5520,96\;dm^3[/math]