Problema di geometria (45570)

[niko95]

la somma e la differenza della apotema e della altezza di una piramide regolare quadrangolare misurano 75 cm e 3 cm. calcola l'area totale della piramide.

[BIT5]

Sai che:

apotema + altezza = 75
apotema - altezza = 3

Se rappresenti graficamente apotema e altezza, hai questa situazione:
indico con "a" l'apotema e con "h" l'altezza

|-------a-----------|-------h-------|=75

|-------a-----------|
|--------h-----|--3-|

quindi l'apotema puo' essere rappresentato con un segmento lungo quanto l'altezza e un segmento lungo 3.

Ma allora il disegno della somma diventa

|-----h------|---3---|--------h----|=75

e quindi se due altezze + 3 danno 75, allora le due altezze saranno 75-3 e quindi

|------h------|-------h------| =72

E quindi un'altezza sara' 72 : 2 = 36

E l'apotema (che e' 3 cm in piu' dell'altezza) sara' 39.

Disegna ora la piramide e traccia l'altezza della piramide (che essendo regolare a base quadrangolare cadra' nel centro del quadrato di base) e l'apotema (che altro non e' che l'altezza di ogni triangolo laterale della piramide)

Noterai che altezza e apotema, formano un triangolo rettangolo avente come ipotenusa l'apotema della piramide e come cateti l'altezza della piramide e l'apotema del quadrato (ovvero il segmento che unisce il centro del quadrato a meta' del lato, e che e' lungo meta' del lato del quadrato)

quindi grazie a Pitagora, avrai che l'apotema del quadrato sara'

[math] a_Q= \sqrt{39^2-36^}= \sqrt{225}=15 [/math]

E dunque il lato del quadrato sara' 2 x 15 =30.

a questo punto puoi calcolare l'area del quadrato di base e la superficie di un triangolo/faccia della piramide, che avra' altezza 36 e base 30 (lato del quadrato)

I triangoli sono 4, a cui aggiungi l'area del quadrato per ottenere cosi' la superficie totale della piramide.