Piramide quadrangolare e prisma retto!!!

[paoletta_innamorata_13]

Mi dareste una mano perfavore?

[gio.cri]

Ciao Paoletta,
Partiamo dall'analizzare il prisma con base rombica, sapendo che ha un perimetro di 40 [cm] e la diagonale maggiore di 16 [cm].
La prima cosa che possiamo fare e' calcolare il lato del rombo, sapendo che possiamo vedere il rombo come 4 triangoli uguali, quindi:

[math] L_{Rombo} = \frac{40}{4} [cm] = 10 [cm] [/math]

A questo punto possiamo calcolare l'altra diagonale:

[math] d_2 = \sqrt{10^2-8^2} = 6 [cm] [/math]

Conoscendo le due diagonali, possiamo calcolare l'area del rombo:

[math] A_{Rombo} = d_1*d_2 = 96[cm^2] [/math]

L'area ci serve per il calcolo dell'apotema del rombo, infatti, possiamo calcolare l'apotema del rombo facendo questo ragionamento, l'apotema del rombo non e' altro che l'altezza di uno dei quattro triangoli che formano il rombo, quindi:

[math] apotema_{Rombo} = \frac{2*\frac{A_{Rombo}}{4}}{L_{Rombo}}=\frac{2*24}{10}=4.8 [cm] [/math]

Calcolato l'apotema, possiamo calcolare l'altezza del prisma, sapendo che:

[math] h_{Prisma} = \frac{9}{8} 4.8 [cm] = 5.4 [cm] [/math]

Di conseguenza la superficie laterale e totale sara':

[math] S_{lat} = perimetro*h=40 * 5.4=216 [cm^2] [/math]

[math] S_{TOT} = S_{lat}+2S_{Base}=216+2*96=408 [cm^2] [/math]

Adesso passiamo alla piramide e possiamo facilmente calcolare la superficie totale:

[math] S_{TOT,piramide} = \frac{1}{17}408 = 24 [cm^2] [/math]

Quindi, la superficie laterale la possiamo vedere come differenza tra quella totale e quella di base:

[math] S_{lat,piramide} = 24-9 =15[cm^2] [/math]

Per calcolare l'altezza della piramide possiamo ragionare in questo modo. Innanzitutto, calcoliamo l'area di ogni singola faccia della superficie laterale, che non è altro che un triangolo:

[math] A_{Triangolo}=\frac{15}{4}=3.75 [cm^2] [/math]

Adesso, sapendo che l'area di base della piramide e' una base quadrangolare regolare e misura 9 [cm^2], quindi, e' un quadrato, possiamo calcolare il lato:

[math] lato_{base} = \sqrt{9}=3 [cm] [/math]

Questo lato risulta essere anche la base del triangolo che abbiamo trovato, quindi possiamo calcolare l'altezza di questo triangolo che coincide con l'apotema della piramide:

[math] h_{triangolo}=apotema_{piramide} = \frac{2*A_{Triangolo}}{lato_{base}}=\frac{2*3.75}{3} = 2.5 [cm] [/math]

Infine, possiamo calcolare l'altezza della piramide:

[math] \sqrt{apotema^2-lato_{base}^2}=\sqrt{2.5^1-1.5^2}=\sqrt{4}=2 [cm] [/math]

Fine esercizio

Spero di esserti stato d'aiuto. Per qualsiasi dubbio non esitare a commentare :)
Buona giornata.

[paoletta_innamorata_13]

Gentilmente, potresti aiutarmi anche su questi due?