Mi risolvete questi 3 problemi per stasera ?

[mrspasimante]

1)Calcola la misura dell'altezza e il volume di una piramide esagonale regolare sapendo che lo spigolo di base e l'apotema della piramide sono lunghi rispettivame 20 e 24 cm.

2)Una piramide retta ha per base un rombo avente il perimetro di 60 cm e la diagonale minore lunga 18 cm. Sapendo che l'altezza della piramide è lunga 32 cm,calcola l'area della superfice totale e il volume.

3)Un solido è formato da un cubo avente lo spigolo lungo 18 cm e da una piramide regolare a esso sovrapposta avente la base coincidente con una faccia del cubo.Sapendo che l'altezza complessiva del solido è 30 cm, calcola l'area della superfice e il volume del solido ...

[strangegirl97]

Primo problema
Iniziamo a eseguire i calcoli per ottenere l'altezza. La formula che dovremo usare è questa:

[math]h = \sqrt{a^2 - r_i^2}[/math]

Abbiamo l'apotema, ma non il raggio della circonferenza inscritta

[math]r_i[/math]

. Per intenderci, la circonferenza inscritta sarebbe quella circonferenza che si trova all'interno di un poligono e tocca tutti i lati. Il raggio della circonferenza inscritta (chiamato anche apotema) si ottiene moltiplicando la lunghezza del lato per un numero fisso che cambia da poligono a poligono. Nel caso dell'esagono il numero fisso è 0,866:

[math]r_i = l * 0,866 = cm\;20*0,866 = 17,32\;cm[/math]

A questo punto puoi calcolare l'altezza. Fai il calcolo da solo, il risultato approssimato dev'essere 16,6 cm.

Per calcolare il volume della piramide ci serve l'area di base. La formula è

[math]\frac{p*a}{2}[/math]

:

[math]A_b = \frac{120 * 17,32} {2} = \frac{\no{2078,4}^{1039,2}}{\no2^1} = 1039,2\;cm^2[/math]

Poi puoi passare al volume:

[math]V = \frac{A_b * h} {3}[/math]

.

Secondo problema
Iniziamo cercando un modo per ottenere l'area di base. Se tu tracci le diagonali del rombo ti rendi conto che viene diviso in quattro triangoli rettangoli congruenti. Ognuno ha:
- come ipotenusa il lato del rombo;
l = p : 4 = cm 60 : 4 = 15 cm
- come cateto minore la metà della diagonale minore;
d : 2 = cm 18 : 2 = 9 cm
- come cateto maggiore la metà della diagonale maggiore, che calcoleremo adesso con Pitagora:

[math]D = 2 * \sqrt{l^2 - (\frac{d} {2})^2} = 2*\sqrt{15^2 - 9^2} = \\=2*\sqrt{225 - 81} = 2*\sqrt{144} = 2* 12 = 24\;cm[/math]

E adesso possiamo calcolare l'area:

[math]A_b = \frac{d * D}{2} = \frac{9 * 24} {2} = \frac{\no{216}^{108}} {\no2^1} = 108\;cm^2[/math]

Adesso ci tocca calcolare l'apotema della piramide:

[math]a = \sqrt{h^2 + r_i^2}[/math]

Anche qui non conosciamo il raggio della circonferenza inscritta. Se provi a tracciarlo ti rendi conto che coincide con l'altezza relativa all'ipotenusa di uno dei triangoli rettangoli in cui abbiamo diviso prima il rombo. Quindi:

[math]r_i = \frac{\frac{d} {2} * \frac{D} {2}} {l} = \frac{9 * 12} {2} = \frac{\no{108}^{54}} {\no2^1} = 54\;cm[/math]

Ed ora possiamo calcolare l'apotema:

[math]a = \sqrt{h^2 + r_i^2} = \sqrt{32^2 + 54^2} = \sqrt{1024 + 2916}= \sqrt{3940} = 62,77\;cm[/math]

Ora puoi continuare da solo. Ricorda:

[math]A_l = \frac{p * a} {2}[/math]

[math]A_t = A_l + A_b[/math]

[math]V = \frac{A_b * h} {3}[/math]

Terzo problema
Prova tu, secondo me ci puoi arrivare. ;) Al limite potresti postare qui la soluzione per controllarla, dovrei esserci più tardi. :) Ciao! :hi

[mrspasimante]

Occhei ci provo e la posto