MCD tra 4 numeri

[Urbany]

Salve,

più che un chiarimento su come si esegui l'MCD tra 4 numeri, girovagando ho letto che:

mcd(a,b,c,d) è uguale a mcd(mcd(a,b),mcd(c,d)).

Ed inoltre si applica la proprietà commutativa ed associativa, quindi volendo posso anche scrivere mcd(mcd(a,d),mcd(b,c))

La mia domanda è: Perché mcd(a,b,c,d) è uguale a mcd(mcd(a,b),mcd(c,d))?

E perché si applica la proprietà commutativa ed associativa?

Grazie

[carlogiannini]

Il problema più grosso di MCD e mcm è proprio nel loro nome. Dicendo MASSIMO CoMUN DIVISORE viene spontaneo aspettarsi un numero GRANDE, dicendo MINIMO COMUNE MULTIPLO ci aspetteremmo un numero PICCOLO.
Parliamo del MCD: se lo chiamassimo DIVISORE COMUNE PIU' GRANDE la PRIMA parola "DIVISORE" ci suggerisce che stiamo cercando un numero "piccolo" che "sta" dentro i numeri che abbiamo.
6 = 3x2
10 = 5x2
14= 7x2
22=11x2
Tra 6, 10, 14 e 22 il DIVISORE comune è solo il "2".
Se divido i quattro numeri in due gruppi ottengo:
MCD(6, 10)=2
MCD(14,22)=2
e se faccio im MCD dei due MCD trovati il risultato non cambia.
Nemmeno se faccio:
MCD(6, 10, 14) e MCD(22) non cambia niente.
Se prendo questi quattro numeri:
4=

[math]2^2[/math]

,
12=

[math]2^2[/math]

x3 ,
22=11x2
26=13x2
e faccio
MCD(4, 12)=4
MCD(22, 26)=2
Ora facendo il MCD tra questi due MCD trovati ottengo 2, cioè
MCD[MCD(4, 12);MCD(22,26)]= MCD(4, 2)=2
che è lo stesso di
MCD(4, 12, 22, 26).
Quindi non conta in che ordine o come dividiamo in gruppi i numeri di cui dobbiamo cercare il MCD perché in ogni caso dobbiamo cercare i fattori in comune, presi una sola volta col minore esponente.
Fammi sapere se sono stato sufficientemente chiaro

[claguerra]

Ottima risposta!!!