Matematica!!!! Problemi sul teorema di Pitagora
1) Un quadrato ha il lato lungo 28 cm. Calcola:
a)la misura della diagonale del quadrato;
b)l'area e la misura della diagonale di un rettangolo isoperimetrico al quadrato avente la base 5/3 dell'altezza;
c)il perimetro di un triangolo rettangolo equivalente al quadrato avente il cateto maggiore che misura 49 cm.
Risultati=[39,597 cm;735 cm*;40,81 cm;139,52].
2) Il poligono è formato dal triangolo rettangolo ABC di ipotenusa AB, dal quadrato ACEF, dal triangolo equilatero BCD e dal rettangolo GHBA. Calcola l'area e il perimetro del poligono sapendo che il cateto minore AC e l'ipotenusa AB misurano rispettivamente 60 cm e 100 cm e che l'altezza del rettangolo è 15/16 del cateto maggiore del triangolo rettangolo. Calcola infine la somma delle misure delle diagonali del quadrato e del rettangolo.
Risultati=[16271,2 cm*;590 cm;209,84 cm].
Ve ne prego aiutatemi sono per mia sorella...
Grazie
a)la misura della diagonale del quadrato;
b)l'area e la misura della diagonale di un rettangolo isoperimetrico al quadrato avente la base 5/3 dell'altezza;
c)il perimetro di un triangolo rettangolo equivalente al quadrato avente il cateto maggiore che misura 49 cm.
Risultati=[39,597 cm;735 cm*;40,81 cm;139,52].
2) Il poligono è formato dal triangolo rettangolo ABC di ipotenusa AB, dal quadrato ACEF, dal triangolo equilatero BCD e dal rettangolo GHBA. Calcola l'area e il perimetro del poligono sapendo che il cateto minore AC e l'ipotenusa AB misurano rispettivamente 60 cm e 100 cm e che l'altezza del rettangolo è 15/16 del cateto maggiore del triangolo rettangolo. Calcola infine la somma delle misure delle diagonali del quadrato e del rettangolo.
Risultati=[16271,2 cm*;590 cm;209,84 cm].
Ve ne prego aiutatemi sono per mia sorella...
Grazie
Risposte
Ciao, Crittylove!
Ti risolvo subito i problemi. Ecco qui di seguito la soluzione:
1) Un quadrato ha il lato lungo 28 cm. Calcola:
a)la misura della diagonale del quadrato;
La diagonale del quadrato lo divide a metà, in due triangoli rettangoli isosceli, nei quali i due cateti sono i lati del quadrato e l'ipotenusa è la diagonale stessa. Pertanto la diagonale del quadrato può essere determinata grazie al Teorema di Pitagora:
b)l'area e la misura della diagonale di un rettangolo isoperimetrico al quadrato avente la base 5/3 dell'altezza;
Il rettangolo è isoperimetro al quadrato. Questo significa che ha il medesimo perimetro. Il perimetro del quadrato è pari a:
Questo è dunque anche il valore del perimetro del rettangolo.
Indico con l e con b le due misure del rettangolo (lato più lungo e lato più corto).
Nel rettangolo il perimetro si calcola come:
Quindi:
Che è equivalente a scrivere:
Dividendo tutto per due ottengo che:
Il problema mi dice che
Dunque, nella formula del perimetro, al posto di b posso scrivere 5/3*l.
b è pari ai 5/3 di questo valore, cioè:
L'area del rettangolo è pari a:
La diagonale, invece, si trova sapendo che essa divide a metà il rettangolo, in due triangoli rettangoli uguali tra loro, nei quali i due cateti sono i lati del rettangolo stesso e l'ipotenusa è la diagonale. Pertanto essa può essere determinata -come già fatto anche per il quadrato- grazie al Teorema di Pitagora:
c)il perimetro di un triangolo rettangolo equivalente al quadrato avente il cateto maggiore che misura 49 cm.
Due poligono sono "equivalenti" quando hanno la stessa area.
Calcoliamo dunque l'area del quadrato iniziale, quello con il lato di 28 cm:
Questa è anche l'area del triangolo rettangolo.
Chiamo C1 uno dei due cateti e C2 l'altro.
L'area del traingolo appena calcolata, viene determinata con la seguente formula:
Si sa però che uno dei due cateti misura 49 cm (per esempio C2). Risulta dunque che:
L'ipotenusa, una volta stimati i due cateti, può essere determinata con il Teorema di Pitagora:
2) Il poligono è formato dal triangolo rettangolo ABC di ipotenusa AB, dal quadrato ACEF, dal triangolo equilatero BCD e dal rettangolo GHBA. Calcola l'area e il perimetro del poligono sapendo che il cateto minore AC e l'ipotenusa AB misurano rispettivamente 60 cm e 100 cm e che l'altezza del rettangolo è 15/16 del cateto maggiore del triangolo rettangolo. Calcola infine la somma delle misure delle diagonali del quadrato e del rettangolo.
L'area del poligono è pari alla somma delle aree dei poligoni che lo compongono, che sono nell'ordine:
1) Triangolo rettangolo ABC (di ipotenusa AB, e dunque cateti Ac e BC)
2) Quadrato ACEF (che ha in comune con il triangolo il lato AC)
3) Triangolo equilatero BCD (che ha in comune con il primo triangolo il lato BC)
4) Il rettangolo GHBA (che ha in comune con il primo triangolo il lato AB).
Cominciamo dal primo triangolo, di cui si conoscono il cateto AC (60 cm) e l'ipotenusa AB (100 cm). Il secondo cateto, BC, può essere determinato con il Teorema di Pitagora.
Dunque l'area del triangolo è pari a:
Il lato del quadrato è invece pari ad AC. Quindi la sua area è pari a:
Il triangolo equilatero ha lato pari a BC (80 cm).
Occorre, per calcolarne l'area, stimare la misura dell'altezza. Essa, nel triangolo equilatero, lo divide a metà, in due triangoli rettangoli, nei quali l'ipotenusa è pari al lato obliquo (80 cm), il cateto orizzontale è pari a metà della base (80:2 = 40 cm) e il cateto verticale è l'altezza.
Posso dunque determinare l'altezza con il Teorema di Pitagora:
Quindi:
Del rettangolo, infine, si sa che una dimensione è pari ad AB, mentre l'altra è pari a 15/16 del cateto maggiore di ABC, cioè BC.
Quindi
Il perimetro si ottiene invece sommando i seguenti lati:
1) FA,FE ed Ec, che sono lati del quadrato e misurano perciò 60 cm l'uno;
2) CD e BD, che sono lati del traingolo rettangolo e misurano perciò 80 cm l'uno;
3) BH e AG, che sono i lati corti del rettangolo e misurano 75 cm l'uno;
4) GH, che è il lato lungo del rettangolo e misura 100 cm;
Poichè vado un pochino di fretta, ti scrivo in due parole le formule delle diagonli del quadrato e del rettangolo, determinate con il teorema di pitagora:
Ciao, a presto! Ho visto che hai postato la domanda parecchie ore fa, ma spero che la mia risposta ti sia ancora utile!
Ti risolvo subito i problemi. Ecco qui di seguito la soluzione:
1) Un quadrato ha il lato lungo 28 cm. Calcola:
a)la misura della diagonale del quadrato;
La diagonale del quadrato lo divide a metà, in due triangoli rettangoli isosceli, nei quali i due cateti sono i lati del quadrato e l'ipotenusa è la diagonale stessa. Pertanto la diagonale del quadrato può essere determinata grazie al Teorema di Pitagora:
[math]d = \sqrt{28^2 + 28^2}= \sqrt{784 + 784}= \sqrt{1568}= 39,597 cm [/math]
b)l'area e la misura della diagonale di un rettangolo isoperimetrico al quadrato avente la base 5/3 dell'altezza;
Il rettangolo è isoperimetro al quadrato. Questo significa che ha il medesimo perimetro. Il perimetro del quadrato è pari a:
[math]P = 4*lato = 4*28 = 112 cm[/math]
Questo è dunque anche il valore del perimetro del rettangolo.
Indico con l e con b le due misure del rettangolo (lato più lungo e lato più corto).
Nel rettangolo il perimetro si calcola come:
[math]P = 2*l + 2*b[/math]
Quindi:
[math]112 = 2*l + 2*b[/math]
Che è equivalente a scrivere:
[math]112 = 2*(l+b)[/math]
Dividendo tutto per due ottengo che:
[math]56 = l +b[/math]
Il problema mi dice che
[math]b=5/3*l.[/math]
Dunque, nella formula del perimetro, al posto di b posso scrivere 5/3*l.
[math]56 = 5/3*l + l[/math]
[math]56 = 5/3*l +3/3*l[/math]
[math]56 = 8/3*l[/math]
[math]l = 56*3/8 = 21 cm[/math]
b è pari ai 5/3 di questo valore, cioè:
[math]5/3*21 = 35.[/math]
L'area del rettangolo è pari a:
[math]A = b*l = 21*35 = 735 cm^2[/math]
La diagonale, invece, si trova sapendo che essa divide a metà il rettangolo, in due triangoli rettangoli uguali tra loro, nei quali i due cateti sono i lati del rettangolo stesso e l'ipotenusa è la diagonale. Pertanto essa può essere determinata -come già fatto anche per il quadrato- grazie al Teorema di Pitagora:
[math]d = \sqrt{l^2 + b^2}= \sqrt{21^2 + 35^2}= \sqrt{441 + 1225}= \sqrt{1666}= 40,81 cm [/math]
c)il perimetro di un triangolo rettangolo equivalente al quadrato avente il cateto maggiore che misura 49 cm.
Due poligono sono "equivalenti" quando hanno la stessa area.
Calcoliamo dunque l'area del quadrato iniziale, quello con il lato di 28 cm:
[math]Area quadrato = l^2 = 28^2 = 784 cm^2.[/math]
Questa è anche l'area del triangolo rettangolo.
Chiamo C1 uno dei due cateti e C2 l'altro.
L'area del traingolo appena calcolata, viene determinata con la seguente formula:
[math]C1 * C1/2 = Area triangolo = 784 cm^2.[/math]
Si sa però che uno dei due cateti misura 49 cm (per esempio C2). Risulta dunque che:
[math]C1 * 49/2 = 784 cm^2[/math]
[math]C1 * 49 = 784 * 2 = 1568 cm^2.[/math]
[math]C1 = 1568/49 = 32 cm[/math]
L'ipotenusa, una volta stimati i due cateti, può essere determinata con il Teorema di Pitagora:
[math]i = \sqrt{C1^2 + C2^2}= \sqrt{32^2 + 49^2}= \sqrt{1024 + 2401}= \sqrt{3425}= 58,52 cm [/math]
[math]P = i + C1 + C2 = 58,52 +32 +49 = 139,52 cm circa.[/math]
2) Il poligono è formato dal triangolo rettangolo ABC di ipotenusa AB, dal quadrato ACEF, dal triangolo equilatero BCD e dal rettangolo GHBA. Calcola l'area e il perimetro del poligono sapendo che il cateto minore AC e l'ipotenusa AB misurano rispettivamente 60 cm e 100 cm e che l'altezza del rettangolo è 15/16 del cateto maggiore del triangolo rettangolo. Calcola infine la somma delle misure delle diagonali del quadrato e del rettangolo.
L'area del poligono è pari alla somma delle aree dei poligoni che lo compongono, che sono nell'ordine:
1) Triangolo rettangolo ABC (di ipotenusa AB, e dunque cateti Ac e BC)
2) Quadrato ACEF (che ha in comune con il triangolo il lato AC)
3) Triangolo equilatero BCD (che ha in comune con il primo triangolo il lato BC)
4) Il rettangolo GHBA (che ha in comune con il primo triangolo il lato AB).
Cominciamo dal primo triangolo, di cui si conoscono il cateto AC (60 cm) e l'ipotenusa AB (100 cm). Il secondo cateto, BC, può essere determinato con il Teorema di Pitagora.
[math]BC = \sqrt{AB^2 - AC^2}= \sqrt{100^2 - 60^2}= \sqrt{10000 + 3600}= \sqrt{6400}= 80 cm [/math]
Dunque l'area del triangolo è pari a:
[math]AC*BC/2 = 60*80/2 = 2400 cm^2.[/math]
Il lato del quadrato è invece pari ad AC. Quindi la sua area è pari a:
[math]Area quadrato = AC^2 = 60^2 = 3600 cm^2.[/math]
Il triangolo equilatero ha lato pari a BC (80 cm).
Occorre, per calcolarne l'area, stimare la misura dell'altezza. Essa, nel triangolo equilatero, lo divide a metà, in due triangoli rettangoli, nei quali l'ipotenusa è pari al lato obliquo (80 cm), il cateto orizzontale è pari a metà della base (80:2 = 40 cm) e il cateto verticale è l'altezza.
Posso dunque determinare l'altezza con il Teorema di Pitagora:
[math]h = \sqrt{80^2 - 40^2}= \sqrt{6400 - 1600}= \sqrt{4800}= 69,28 circa cm [/math]
Quindi:
[math]Area triangolo = BC * h/2 = 80*69,28/2= 2771,28 cm^2[/math]
Del rettangolo, infine, si sa che una dimensione è pari ad AB, mentre l'altra è pari a 15/16 del cateto maggiore di ABC, cioè BC.
Quindi
[math]GA= 15/16*80 = 75 cm[/math]
[math]Area rettangolo = AB * GA = 100*75= 7500 cm^2. [/math]
[math]Area totale poligono= 2400 +3600 + 2771,28 + 7500 = 16271,28 cm^2.[/math]
Il perimetro si ottiene invece sommando i seguenti lati:
1) FA,FE ed Ec, che sono lati del quadrato e misurano perciò 60 cm l'uno;
2) CD e BD, che sono lati del traingolo rettangolo e misurano perciò 80 cm l'uno;
3) BH e AG, che sono i lati corti del rettangolo e misurano 75 cm l'uno;
4) GH, che è il lato lungo del rettangolo e misura 100 cm;
[math]P = 60 *3 + 80*2 + 75*2 + 100*2 = 180 +160 + 150 + 100 = 590 cm.[/math]
Poichè vado un pochino di fretta, ti scrivo in due parole le formule delle diagonli del quadrato e del rettangolo, determinate con il teorema di pitagora:
[math]d1 = \sqrt{60^2 +60^2}= \sqrt{3600 + 3600}= \sqrt{7200}= 84,85 circa cm [/math]
[math]d2 = \sqrt{100^2 +75^2}= \sqrt{10000 + 5625}= \sqrt{15625}= 125 cm [/math]
[math]d1 + d2 = 84,85 + 125 = 209,85 cm.[/math]
Ciao, a presto! Ho visto che hai postato la domanda parecchie ore fa, ma spero che la mia risposta ti sia ancora utile!
Lo sapevo che mi avresti aiutato grazie... Ti voglio bene
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