Legge Empirica del Caso
Salve a tutti,
Ho lanciato un dado 100 volte ed ho ottenuto:
$15$ volte l'$1$
$20$ volte il $2$
$10$ volte il $3$
$5$ volte il $4$
$25$ volte il $5$
$25$ volte il $6$
Nel lancio successivo è più probabile che esca il 4 o il 5?
La risposta a colpo d'occhio è che la probabilità sia uguale ma mi è venuto un dubbio: per la Legge Empirica del Caso non dovrebbe essere maggiore la probabilità che esca $4$?
Vi ringrazio in anticipo per le risposte che mi darete, forse non ho capito bene la Legge Empirica del Caso.
In quell'eventualità sareste così gentili da rispiegarmela?
Grazie e ciao a tutti
Ho lanciato un dado 100 volte ed ho ottenuto:
$15$ volte l'$1$
$20$ volte il $2$
$10$ volte il $3$
$5$ volte il $4$
$25$ volte il $5$
$25$ volte il $6$
Nel lancio successivo è più probabile che esca il 4 o il 5?
La risposta a colpo d'occhio è che la probabilità sia uguale ma mi è venuto un dubbio: per la Legge Empirica del Caso non dovrebbe essere maggiore la probabilità che esca $4$?
Vi ringrazio in anticipo per le risposte che mi darete, forse non ho capito bene la Legge Empirica del Caso.
In quell'eventualità sareste così gentili da rispiegarmela?
Grazie e ciao a tutti
Risposte
facciamo finta che non sia il lancio di un dado, ma delle estrazioni con reimbussolamento da un'urna, nella quale non sai né quante palline ci siano, né come queste siano numerate. Alla prossima estrazione è più probabile che esca 4 o 5?
Chiaramente è più probabile il 5 perché su 100 estrazioni il 5 è uscito $1/4$ delle volte, mentre il 4 sono $1/20$, quindi nell'urna i gettoni numerati con 5 sono di più di quelli numerati con il 4, altrimenti non si spiega perché il 5 sia uscito così tante volte più del 4.
Tornando al lancio del dado, darei la stessa soluzione: una così grande differenza tra il 5 e il 4 si spiega soprattutto con un dado un po' usurato, tale da cadere più spesso dalla parte del 5.
Chiaramente è più probabile il 5 perché su 100 estrazioni il 5 è uscito $1/4$ delle volte, mentre il 4 sono $1/20$, quindi nell'urna i gettoni numerati con 5 sono di più di quelli numerati con il 4, altrimenti non si spiega perché il 5 sia uscito così tante volte più del 4.
Tornando al lancio del dado, darei la stessa soluzione: una così grande differenza tra il 5 e il 4 si spiega soprattutto con un dado un po' usurato, tale da cadere più spesso dalla parte del 5.
E se il dado non fosse truccato?
Ciao e grazie.
Ciao e grazie.
Il fatto è che la legge che citi funziona solo sui grandi numeri, non sulla singola estrazione,e quindi, come avevi detto anche tu, le due uscite sono equiprobabili.
Il ragionamento sul fatto che la frequenza delle uscite deve essere la stessa per tutti i valori lo fanno anche i giocatori del lotto che puntano sui numeri ritardatari, ma è sbagliata se riferita ad una singola estrazione.
Il ragionamento sul fatto che la frequenza delle uscite deve essere la stessa per tutti i valori lo fanno anche i giocatori del lotto che puntano sui numeri ritardatari, ma è sbagliata se riferita ad una singola estrazione.
Ok, grazie @melia.
Prego.
Toglimi una curiosità, ma tu frequenti la scuola media?
Toglimi una curiosità, ma tu frequenti la scuola media?
Sì, faccio la terza media e la domanda mi è venuta dopo un quesito della prova invalsi di ieri.
La matematica mi piace molto perciò vado avanti da solo con il programma perché le cose che facciamo a scuola mi annoiano.
ciao
La matematica mi piace molto perciò vado avanti da solo con il programma perché le cose che facciamo a scuola mi annoiano.
ciao
La domanda è molto interessante e vorrei aggiungere qualcosa.
Per prima cosa faccio i complimenti a GB96 che pensa a questi argomenti già in terza media, io ho iniziato
decisamente dopo . Tra l'altro non ho mai studiato nulla di probabilità prima della terza o quarta superiore.
In particolare poi questo tipo di quesito è tutt'altro che banale, la legge empirica del caso, o legge dei grandi numeri
(che tra l'altro presenta più di una versione) è un argomento abbastanza spinoso. Diversi matematici ci hanno battuto
la testa per parecchio tempo. In definitiva comunque rappresenta il risultato teorico più importante nella teoria della
probabilità almeno per quello che riguarda l'approccio frequentista.
Comunque tornando al nostro caso pratico, quello del dado, possiamo interpretare la domanda in modi differenti
Premessa per poter applicare la legge dei grandi numeri abbiamo bisogno che le prove che si effettuano
siano indipendenti. Questo lo do per scontato come valido.
1) Partendo dall'assunto che il dado sia equilibrato i possibili esiti sono, per costruzione, equiprobabili.
Di conseguenza le frequenze relative che hai ottenuto nell'esperimento di per se non hanno valore. La probabilità di ogni
singolo evento rimane la stessa ad ogni lancio. Il fatto che le frequenze relative debbano convergere, e fino a prova
contraria convergeranno al valore teorico $1/6$,
non influenza le probabilità di accadimento dei singoli eventi ai prossimi lanci (qui ci ricolleghiamo
ai lanci indipendenti). Quindi i valori risultati meno frequenti nell'esperimento non sono per nulla più probabili. Conseguenza,
giocare i ritardatari non serve! (se poi vuoi torniamo sull'argomento)
2)Possiamo ragionare in modo diverso e porci come "gnostici" rispetto alle proprietà del dado. In tale ottica l'esperimento,
al contrario di prima, assume grande valore e diventa la nostra principale fonte d'informazione.
A tal punto si può dimostrare che le frequenze relative che hai ottenuto per i singoli esiti rappresentano,
non sorprendentemente, le stime (di massima verosimiglianza per essere tecnici) delle probabilità effettive.
In tale caso la cosa più ragionevole che possiamo dire è che i valori con le p-stimate più alte sono i più probabili
al prossimo lancio nel tuo caso il $5$ ed il $6$. Il quattro risulta invece il meno probabile! Ovvero il contrario di quello che
un giocatore dei ritardatari si aspetterebbe!
3) potremmo anche fare un'altra cosa, a mio avviso la più ragionevole in campo sperimentale, ovvero partire dall'ipotesi che
il dado sia equilibrato (non avendo validi motivi per sospettare a priori) e sottoporre a test tale ipotesi,
ad esempio tramite un test chi-quadro. Se il test accetta l'ipotesi ci rifacciamo al caso 1 altrimenti possiamo lavorare col 2.
Ad ogni modo l'argomento è complicato si devono usare concetti statistico-probabilistici avanzati che vanno enormemente al di la
di quello che si chiede ad uno studente delle medie.
Per chiudere vorrei solo segnalarti che se impostiamo come valido un modello teorico (cioè casi 1; tra l'altro in un
esercizio di "matematica" si deve fare sempre così) la risposta, anche se l'ho solamente
spiegata a parole, non è poi tanto complicata.
Se si pretende di indagare empiricamente la validità di modelli probabilistici teorici si devono tirare
fuori argomenti matematico-"statistici", se poi si vuole spiegare la realtà...
Per prima cosa faccio i complimenti a GB96 che pensa a questi argomenti già in terza media, io ho iniziato
decisamente dopo
. Tra l'altro non ho mai studiato nulla di probabilità prima della terza o quarta superiore.In particolare poi questo tipo di quesito è tutt'altro che banale, la legge empirica del caso, o legge dei grandi numeri
(che tra l'altro presenta più di una versione) è un argomento abbastanza spinoso. Diversi matematici ci hanno battuto
la testa per parecchio tempo. In definitiva comunque rappresenta il risultato teorico più importante nella teoria della
probabilità almeno per quello che riguarda l'approccio frequentista.
Comunque tornando al nostro caso pratico, quello del dado, possiamo interpretare la domanda in modi differenti
Premessa per poter applicare la legge dei grandi numeri abbiamo bisogno che le prove che si effettuano
siano indipendenti. Questo lo do per scontato come valido.
1) Partendo dall'assunto che il dado sia equilibrato i possibili esiti sono, per costruzione, equiprobabili.
Di conseguenza le frequenze relative che hai ottenuto nell'esperimento di per se non hanno valore. La probabilità di ogni
singolo evento rimane la stessa ad ogni lancio. Il fatto che le frequenze relative debbano convergere, e fino a prova
contraria convergeranno al valore teorico $1/6$,
non influenza le probabilità di accadimento dei singoli eventi ai prossimi lanci (qui ci ricolleghiamo
ai lanci indipendenti). Quindi i valori risultati meno frequenti nell'esperimento non sono per nulla più probabili. Conseguenza,
giocare i ritardatari non serve! (se poi vuoi torniamo sull'argomento)
2)Possiamo ragionare in modo diverso e porci come "gnostici" rispetto alle proprietà del dado. In tale ottica l'esperimento,
al contrario di prima, assume grande valore e diventa la nostra principale fonte d'informazione.
A tal punto si può dimostrare che le frequenze relative che hai ottenuto per i singoli esiti rappresentano,
non sorprendentemente, le stime (di massima verosimiglianza per essere tecnici) delle probabilità effettive.
In tale caso la cosa più ragionevole che possiamo dire è che i valori con le p-stimate più alte sono i più probabili
al prossimo lancio nel tuo caso il $5$ ed il $6$. Il quattro risulta invece il meno probabile! Ovvero il contrario di quello che
un giocatore dei ritardatari si aspetterebbe!
3) potremmo anche fare un'altra cosa, a mio avviso la più ragionevole in campo sperimentale, ovvero partire dall'ipotesi che
il dado sia equilibrato (non avendo validi motivi per sospettare a priori) e sottoporre a test tale ipotesi,
ad esempio tramite un test chi-quadro. Se il test accetta l'ipotesi ci rifacciamo al caso 1 altrimenti possiamo lavorare col 2.
Ad ogni modo l'argomento è complicato si devono usare concetti statistico-probabilistici avanzati che vanno enormemente al di la
di quello che si chiede ad uno studente delle medie.
Per chiudere vorrei solo segnalarti che se impostiamo come valido un modello teorico (cioè casi 1; tra l'altro in un
esercizio di "matematica" si deve fare sempre così) la risposta, anche se l'ho solamente
spiegata a parole, non è poi tanto complicata.
Se si pretende di indagare empiricamente la validità di modelli probabilistici teorici si devono tirare
fuori argomenti matematico-"statistici", se poi si vuole spiegare la realtà...
Vorrei complimentarmi con markowitz per il mini-excursus
Per maxsiviero:
grazie. Tra l'altro siamo di zona io sono di Rivalta
grazie. Tra l'altro siamo di zona io sono di Rivalta
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