Geometria solida
Un cubo presenta una cavità a forma di piramide regolare quadrangolare con il contorno della base coincidente con quello della base superiore del cubo. Sapendo che l'apotema misura 15 cm, che lo spicgolo di base della piramide è 8/3 della sua altezza, calcola l'area della superficie totale e il volume del solido.
Risultato: [3600 cm*; 12096 cm*cubi]
Un parallelepipedo rettangolo ha le dimensioni di base una 5/6 dell'altre, l'area di base di 480 dam* a l'altezza lunga 11,85 dam; sapendo che il solido è ecquivalente ad un cubo, calcola l'area della superficie totale di quest'ultimo. [risultato: 1944 dam*]
GRAZIE :))
Risultato: [3600 cm*; 12096 cm*cubi]
Un parallelepipedo rettangolo ha le dimensioni di base una 5/6 dell'altre, l'area di base di 480 dam* a l'altezza lunga 11,85 dam; sapendo che il solido è ecquivalente ad un cubo, calcola l'area della superficie totale di quest'ultimo. [risultato: 1944 dam*]
GRAZIE :))
Risposte
Ecco a te "critty":
Un cubo presenta una cavità a forma di piramide regolare quadrangolare con il contorno della base coincidente con quello della base superiore del cubo. Sapendo che l'apotema misura 15 cm, che lo spicgolo di base della piramide è 8/3 della sua altezza, calcola l'area della superficie totale e il volume del solido.
Concentriamoci prima di tutto sulla piramide.
L'apotema della piramide (a) è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo che ha per cateti l'altezza della piramide (h) e l'apotema di base (ap).
Queste tre grandezze sono quindi collegate tra loro attarverso il teorema di Pitagora:
a^2 = h^2 +ap^2
Nel quadrato, l'apotema di base è pari alla metà del lato.
Quindi:
a^2 = h^2 +(1/2*l)^2
Lo spigolo di base (l) è a sua volta 8/3 dell'latezza. Dunque...
a^2 = h^2 +(1/2*8/3h)^2
a^2 = h^2 +(4/3h)^2
a^2 = h^2 + 16/9 h^2
a^2 = 9/9 h^2 + 16/9 h^2
a^2 = 25/9 h^2
Possiamo determinare il valore di h invertendo questa formula:
h^2 = a^2 * 9/25
h = radice di (a^2*9/25) = radice di (15^2*9/25) = radice di 81 = 9 cm
Ricordando che lo spigolo di base è pari a 8/3 dell'altezza...
l = 8/3 *9 = 24 cm
Veniamo al volume del solido. Esso è pari al volume del cubo meno quello della piramide:
V(tot) = V1 - V2 = l^3 -l^2*h/3 = 24^3 +24^2*9/3 = 13824 - 1728 = 12096 cm^3
L'area del solido è invece pari all'area delle cinque facce del cubo meno l'area della superficie laterale della piramide:
A(tot) = 5*l^2 + perimetro base * a/2 = 5*24^2 + (4*24) *15/2 = 2880 + 720 = 3600 cm^2
Un parallelepipedo rettangolo ha le dimensioni di base una 5/6 dell'altre, l'area di base di 480 dam* a l'altezza lunga 11,85 dam; sapendo che il solido è ecquivalente ad un cubo, calcola l'area della superficie totale di quest'ultimo.
Determiniamo tutte le misure del parallelepipedo.
Chiamiamo b ed l le due dimensioni della sua base.
Area(base) = b*l
Sapendo che: l= 5/6 b, posso scrivere:
Area(base) = b*5/6b = 5/6*b^2
b= radice di (480*6/5) = radice di 576 = 24 dm
Quindi l = 5/6*b = 5/6*24 = 20 dm
Il testo che mi hai postato risulta però "incompleto". Nel senso che con il valore di altezza fornito, non è possibile ottenere il risultato riportato dal libro. Non sapendomene spiegare la ragione, ti ho cercato questo problema su internet. Ho così scoperto che il testo originale riporta che "la misura dell'altezza è minore della dimensione maggiore della base di 11,85 dam", non che l'altezza misura 11,85 dm. Quindi:
h = b - 11,85 = 24 -11,85 = 12,15 dm
Abbiamo tutti gli elementi per calcolare il volume del parallelepipedo:
V = b*l*h = 20*24*12,15 = 5832 cm^3
Due solidi sono equivalenti quando hanno lo stesso volume. Questo è dunque anche il volume del cubo. Possiamo calcolarne il lato:
V(cubo) = lato^3
lato = radice cubica volume = radice cubica (5832) = 18 dm
Area totale (cubo) = 6*lato^2 = 6*18^2 = 1944 dm^2.
Fine. Ciao!!!
Un cubo presenta una cavità a forma di piramide regolare quadrangolare con il contorno della base coincidente con quello della base superiore del cubo. Sapendo che l'apotema misura 15 cm, che lo spicgolo di base della piramide è 8/3 della sua altezza, calcola l'area della superficie totale e il volume del solido.
Concentriamoci prima di tutto sulla piramide.
L'apotema della piramide (a) è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo che ha per cateti l'altezza della piramide (h) e l'apotema di base (ap).
Queste tre grandezze sono quindi collegate tra loro attarverso il teorema di Pitagora:
a^2 = h^2 +ap^2
Nel quadrato, l'apotema di base è pari alla metà del lato.
Quindi:
a^2 = h^2 +(1/2*l)^2
Lo spigolo di base (l) è a sua volta 8/3 dell'latezza. Dunque...
a^2 = h^2 +(1/2*8/3h)^2
a^2 = h^2 +(4/3h)^2
a^2 = h^2 + 16/9 h^2
a^2 = 9/9 h^2 + 16/9 h^2
a^2 = 25/9 h^2
Possiamo determinare il valore di h invertendo questa formula:
h^2 = a^2 * 9/25
h = radice di (a^2*9/25) = radice di (15^2*9/25) = radice di 81 = 9 cm
Ricordando che lo spigolo di base è pari a 8/3 dell'altezza...
l = 8/3 *9 = 24 cm
Veniamo al volume del solido. Esso è pari al volume del cubo meno quello della piramide:
V(tot) = V1 - V2 = l^3 -l^2*h/3 = 24^3 +24^2*9/3 = 13824 - 1728 = 12096 cm^3
L'area del solido è invece pari all'area delle cinque facce del cubo meno l'area della superficie laterale della piramide:
A(tot) = 5*l^2 + perimetro base * a/2 = 5*24^2 + (4*24) *15/2 = 2880 + 720 = 3600 cm^2
Un parallelepipedo rettangolo ha le dimensioni di base una 5/6 dell'altre, l'area di base di 480 dam* a l'altezza lunga 11,85 dam; sapendo che il solido è ecquivalente ad un cubo, calcola l'area della superficie totale di quest'ultimo.
Determiniamo tutte le misure del parallelepipedo.
Chiamiamo b ed l le due dimensioni della sua base.
Area(base) = b*l
Sapendo che: l= 5/6 b, posso scrivere:
Area(base) = b*5/6b = 5/6*b^2
b= radice di (480*6/5) = radice di 576 = 24 dm
Quindi l = 5/6*b = 5/6*24 = 20 dm
Il testo che mi hai postato risulta però "incompleto". Nel senso che con il valore di altezza fornito, non è possibile ottenere il risultato riportato dal libro. Non sapendomene spiegare la ragione, ti ho cercato questo problema su internet. Ho così scoperto che il testo originale riporta che "la misura dell'altezza è minore della dimensione maggiore della base di 11,85 dam", non che l'altezza misura 11,85 dm. Quindi:
h = b - 11,85 = 24 -11,85 = 12,15 dm
Abbiamo tutti gli elementi per calcolare il volume del parallelepipedo:
V = b*l*h = 20*24*12,15 = 5832 cm^3
Due solidi sono equivalenti quando hanno lo stesso volume. Questo è dunque anche il volume del cubo. Possiamo calcolarne il lato:
V(cubo) = lato^3
lato = radice cubica volume = radice cubica (5832) = 18 dm
Area totale (cubo) = 6*lato^2 = 6*18^2 = 1944 dm^2.
Fine. Ciao!!!
Critty ne hai pubblicati 3 di questi problemi!! Ali scusa non sapevo che avessi risposto tu, io ho risposto all'altro post che ha messo nel forum uguale a questo!
Hai fatto bene a dirmelo, Antharax: non me ne ero accorta. In questo caso, provvedo a chiudere i topic in eccesso. Grazie.
Prego!! ;)
Aggiunto 17 secondi più tardi:
Anche in Matematica Superiore
Aggiunto 17 secondi più tardi:
Anche in Matematica Superiore
Sì, ho visto, grazie, Antharax.
Allora, Crittydirectioner, ho provveduto a chiudere i topic in eccesso: devi sapere, infatti, che secondo il regolamento non si può postare più di un topic per la stessa richiesta. Niente di grave, ci mancherebbe, ma la cosa genera un po' di confusione nel forum, e quindi è meglio evitarla.
Chiudo dunque anche questo topic, e per correttezza lascio invece aperto quello con la soluzione di Antharax, che ha postato prima di me.
Ciao!!!
Allora, Crittydirectioner, ho provveduto a chiudere i topic in eccesso: devi sapere, infatti, che secondo il regolamento non si può postare più di un topic per la stessa richiesta. Niente di grave, ci mancherebbe, ma la cosa genera un po' di confusione nel forum, e quindi è meglio evitarla.
Chiudo dunque anche questo topic, e per correttezza lascio invece aperto quello con la soluzione di Antharax, che ha postato prima di me.
Ciao!!!
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