Geometria
Ciao a tutti ho un problema che non riesco a risolvere (per me sono sbagliati i dati, o forse mi dimentico un passaggio,più probabile) mi date una mano? il problema è il seguente:
Un triangolo isoscele ha il perimetro di 338 cm. e i lati obliqui misurano 145 cm. Calcola l'area del triangolo... Grazie a chi mi risponde...ciao Miky
Un triangolo isoscele ha il perimetro di 338 cm. e i lati obliqui misurano 145 cm. Calcola l'area del triangolo... Grazie a chi mi risponde...ciao Miky
Risposte
Se conosci il teorema di Pitagora direi che è semplicissimo. Prima troviamo la Base b, poi la dividiamo per 2 per applicare il teorema. La Base è $b\ =\ 338-2*145\ =\ 48$. Adesso hai la base, che dividiamo per 2, e basta un lato obliquo per applicare il teorema di Pitagora e trovare l'altezza h: $h\ = sqrt(145^2-24^2)\ =\ 143$. L'area risulta, perciò: $A_t\ =\ 1/2*b*h\ = 1/2*48*143\ =\ 3432$.
Questo è stato possibile perché il triangolo è isoscele e la perpendicolare alla base condotta per il vertice la taglia in due parti uguali. Questo è il motivo per cui la base l'abbiamo divisa per 2 per applicare Pitagora.
Questo è stato possibile perché il triangolo è isoscele e la perpendicolare alla base condotta per il vertice la taglia in due parti uguali. Questo è il motivo per cui la base l'abbiamo divisa per 2 per applicare Pitagora.
oggi il prof. di mat. ha spiegato il Teorema di Euclide ma io non ho capito tanto. qualcuno può aiutarmi a capire? Grazie
I teoremi di Euclide sono un po' più complicati del teorema di Pitagora. Spiegarli in poche parole non ha senso, è meglio leggerli sul libro e studiarsi gli esempi.
Questo problema si risolve con il teorema di Pitagora come ti ha suggerito Ivan
Questo problema si risolve con il teorema di Pitagora come ti ha suggerito Ivan
Tra Euclide e Pitagora il nesso è che Euclide era il maestro e Pitagora l'allievo astuto. In pratica Euclide dimostra che in un triangolo rettangolo l'area del rettangolo ottenuto dal prodotto dell'ipotenusa per la proiezione sulla stessa di uno dei cateti (I Teorema) è uguale al quadrato costruito sul cateto proiettato. Pitagora notò che facendo la stessa cosa con l'altro cateto si otteneva un quadrato il cui lato era l'ipotenusa, per cui concluse che il quadrato costruito sull'ipotenusa era uguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti. Non ci hai capito molto, vero? Eppure è così, credimi. Ma Euclide, che in quanto ad astuzia non era secondo al suo allievo, si accorse che il quadrato costruito sull'altezza (il segmento perpendicolare all'ipotenusa per il vertice opposto), per le stesse argomentazioni di Pitagora, era uguale al rettangolo formato dalla proiezione del cateto sull'ipotenusa per la differenza tra questa e la proiezione stessa (II Teorema). Rileggi più volte questo testo perché la dimostrazione diverrà semplicissima.
Il Teorema di Pitagora ($c^2=a^2+b^2$), non può essere dimostrato analiticamente (in realtà si dovrebbe accettare come postulato...) perché lo si può fare solo per via "geometrica" (se ne trovano di tali dimostrazioni su wikipedìa...); in tempi recentissimi (Lazare Carnot, generale dell'esercito di Napoleone padre di Sadi Carnot, degno figlio di cotanto padre...) utilizzando la Trigonometria (la studierai il prossimo anno, lo stesso che sto frequentando io...) dimostra che in un triangolo qualunque, dunque non necessariamente "rettangolo", uno qualunque dei lati è dato dalla somma dei quadrati costruiti sugli altri due "meno" 2 volte il prodotto di di questi due lati per il coseno dell'angolo tra essi compreso, ovvero: $bar(AB)^2=bar(AC)^2+bar(BC)^2-2bar(AC)*bar(BC)*cos\ gamma$, dove $gamma$ è l'angolo opposto al lato $bar(AB)$. Come per la Formula di Erone, che abbiamo dovuto aspettare Briggs (1820) per dimostrarla (Erone l'aveva scritta nel 3° secolo prima dell'era moderna), così per questa formula, abbiamo dovuto aspettare Lazare Carnot (1803) per avere la dimostrazione. Infatti, se l'angolo $gamma$ è "retto", cioè misura 90° ($pi/2$), il coseno è $0$ e il teorema di Carnot fornisce la dimostrazione del Teorema di Pitagora.
Il Teorema di Pitagora ($c^2=a^2+b^2$), non può essere dimostrato analiticamente (in realtà si dovrebbe accettare come postulato...) perché lo si può fare solo per via "geometrica" (se ne trovano di tali dimostrazioni su wikipedìa...); in tempi recentissimi (Lazare Carnot, generale dell'esercito di Napoleone padre di Sadi Carnot, degno figlio di cotanto padre...) utilizzando la Trigonometria (la studierai il prossimo anno, lo stesso che sto frequentando io...) dimostra che in un triangolo qualunque, dunque non necessariamente "rettangolo", uno qualunque dei lati è dato dalla somma dei quadrati costruiti sugli altri due "meno" 2 volte il prodotto di di questi due lati per il coseno dell'angolo tra essi compreso, ovvero: $bar(AB)^2=bar(AC)^2+bar(BC)^2-2bar(AC)*bar(BC)*cos\ gamma$, dove $gamma$ è l'angolo opposto al lato $bar(AB)$. Come per la Formula di Erone, che abbiamo dovuto aspettare Briggs (1820) per dimostrarla (Erone l'aveva scritta nel 3° secolo prima dell'era moderna), così per questa formula, abbiamo dovuto aspettare Lazare Carnot (1803) per avere la dimostrazione. Infatti, se l'angolo $gamma$ è "retto", cioè misura 90° ($pi/2$), il coseno è $0$ e il teorema di Carnot fornisce la dimostrazione del Teorema di Pitagora.
"IvanTerr":
Tra Euclide e Pitagora il nesso è che Euclide era il maestro e Pitagora l'allievo astuto.
Ovviamente il tutto inteso in senso ipotetico in quanto Euclide è vissuto circa 200 anni dopo Pitagora.
Non avevo ancora terminato di scrivere, perbacco!
Scusate la domanda stupida, ma se Euclide è vissuto dopo Pitagora come faceva ad essere maestro di quest'ultimo?
Il vero genio matematico dell'antichità non era di certo Pitagora (troppo interessato alla setta che aveva fondato) e nemmeno Euclide (che si è limitato a riorganizzare il materiale a lui noto in un libro, probabilmente partendo da raccolte precedenti che non si sono poi conservate, essendo gli elementi il "non plus ultra") bensì Archimede di Siracusa (per quanto il trattato "Sulle Coniche" di Apollonio di Perga fosse anch'esso importante) che riuscì davvero a far ompiere alla matematica greca un balzo, malgrado vari impedimenti quali la presenza di una sola algebra geometrica.
Mi permetto inoltre di smentire IvanTerr, dicendogli che la formula di Erone non solo era già nota ad Archimede che l'aveva probabilmente dimostrata ma lo stesso Erone la dimostrò nella sua "Metrica". Lo stesso teorema di pitagora è stato dimostrato da Euclide di certo (sfruttando il "primo teorema di euclide" due volte, almeno a giudicare dall'edizione che ho io commentata dal tartaglia e trovata su liberliber.it) e non capisco cosa intendi per "non può essere dimostrato analiticamente". Se intendi che non vi è una vera e propria dimostrazione sugli interi si ha che dimostrata la verità di tale cosa in ambito geometrico (e quindi sui reali) la cosa vale naturalmente anche sugli interi. Inoltre il teorema di carnot è una generalizzazione che NON PUO' ESSERE USATA per dimostrare il teorema di pitagora in quanto la dimostrazione della formula di Carnot richiede lo stesso teorema di Pitagora.
Infine ti faccio anch'io notare che Euclide è vissuto dopo pitagora, e vedo male come avrebbe potuto esserne il maestro... Non fare discorsi complessi se non ne sei sicuro al 100% o se non hai un testo a cui riferirti, perché rischi solo di confondere le idee a chi viene in cerca di aiuto...
Mi permetto inoltre di smentire IvanTerr, dicendogli che la formula di Erone non solo era già nota ad Archimede che l'aveva probabilmente dimostrata ma lo stesso Erone la dimostrò nella sua "Metrica". Lo stesso teorema di pitagora è stato dimostrato da Euclide di certo (sfruttando il "primo teorema di euclide" due volte, almeno a giudicare dall'edizione che ho io commentata dal tartaglia e trovata su liberliber.it) e non capisco cosa intendi per "non può essere dimostrato analiticamente". Se intendi che non vi è una vera e propria dimostrazione sugli interi si ha che dimostrata la verità di tale cosa in ambito geometrico (e quindi sui reali) la cosa vale naturalmente anche sugli interi. Inoltre il teorema di carnot è una generalizzazione che NON PUO' ESSERE USATA per dimostrare il teorema di pitagora in quanto la dimostrazione della formula di Carnot richiede lo stesso teorema di Pitagora.
Infine ti faccio anch'io notare che Euclide è vissuto dopo pitagora, e vedo male come avrebbe potuto esserne il maestro... Non fare discorsi complessi se non ne sei sicuro al 100% o se non hai un testo a cui riferirti, perché rischi solo di confondere le idee a chi viene in cerca di aiuto...
Scusami, Nikilist, ma come fai ad asserire che Pitagora non era il vero genio poichè era troppo legato alla sua setta? Non mi pare un'argomentazione convincente, o forse sono io che non riesco a capirla.
Pitagora era uno dei "sette sapienti" greci. Sapeva sicuramente gestire i numeri razionali molto bene e sono convinto che la gente comune venisse da lui in caso di problemi di logistica (ossia di conti da effettuare). La sua setta fondata sulla teoria "Tutto è numero" era anche un concetto affascinante, almeno per l'antichità in cui i numeri erano spesso maltrattati a favore delle lettere. Però matematicamente i continuti dei pitagorici (e ancor più dello stesso pitagora) furono scarsi.
Intanto la scoperta di una proprietà non era personale ma a vantaggio della scuola intera, quindi negli autori classici si attribuiscono a pitagora anche molti risultati dei suoi studenti. Riguardo all'eventuale introduzione del metodo assiomatico nella matematica ci sono molti dubbi e poche prove che siano stati i pitagorici a far fare il salto, anche rispetto all'età del popolo greco in confronto agli altri popoli e alle loro conoscenze, sopratutto babilonesi (sembra poco credibile che dopo due secoli i greci fossero già così prosperi e ben installati da superare i risultati dei babilonesi, e alcuni autori immediatamente successivi a pitagora smentiscono la sua importanza). Il teorema famoso non è stato da loro dimostrato e lo conoscevano già egiziani e babilonesi (e probabilmente da giovane, come già fece Talete, Pitagora vi soggiornò e lì lo imparò).
Resta l'interessante legame tra matematica e musica (risalente tra l'altro a Filolao, tardo pitagorico, circa un secolo dopo la morte diPitagora) e lo studio della sezione aurea, riconducibile all'equazione di secondo grado $x^2=a^2-ax$. Anche qui comunque i babilonesi (popolo molto sottovalutato matematicamente a causa dell'impostazione assiomatica della matematica odierna di cui essi ovviamente mancavano) sapevano risolverla algebricamente, mentre è probabile che i pitagorici la risolvessero geometricamente.
Tardi pitagorici sono invece i contributi riguardanti le famose terne (queste sì loro, per quanto materiale indimostrato e solo alcune delle infinite possibili) e lo studio delle proporzioni e di qualche numero speciale (come quelle triangolari).
Pitagora insomma ha avuto importanza nella storia umana per i suoi contributi filosofici e musicali, ma è una figura marginale nella storia matematica se paragonato anche solo a figure di poco posteriori come Ippocrate di Chio (specializzato nella quadratura di aree curvilinee) e Archita (raddoppio del volume del cubo) oppure, andando poco più in là (circa l'età di Platone e Aristotele) di Eudosso, celebre per aver definito rigorosamente le proporzioni (la definizione fu riportata da Euclide negli elementi) e per il metodo di esaustione, una SPECIE DI EQUIVALENTE (l'ho ben indicato, eh ^^) del calcolo integrale che permise al suo ideatore di gestire abbastanza agilmente l'infinito e di dimostrare che il rapporto delle aree di due cerchi è il quadrato del rapporto dei diametri corrispettivi.
Intanto la scoperta di una proprietà non era personale ma a vantaggio della scuola intera, quindi negli autori classici si attribuiscono a pitagora anche molti risultati dei suoi studenti. Riguardo all'eventuale introduzione del metodo assiomatico nella matematica ci sono molti dubbi e poche prove che siano stati i pitagorici a far fare il salto, anche rispetto all'età del popolo greco in confronto agli altri popoli e alle loro conoscenze, sopratutto babilonesi (sembra poco credibile che dopo due secoli i greci fossero già così prosperi e ben installati da superare i risultati dei babilonesi, e alcuni autori immediatamente successivi a pitagora smentiscono la sua importanza). Il teorema famoso non è stato da loro dimostrato e lo conoscevano già egiziani e babilonesi (e probabilmente da giovane, come già fece Talete, Pitagora vi soggiornò e lì lo imparò).
Resta l'interessante legame tra matematica e musica (risalente tra l'altro a Filolao, tardo pitagorico, circa un secolo dopo la morte diPitagora) e lo studio della sezione aurea, riconducibile all'equazione di secondo grado $x^2=a^2-ax$. Anche qui comunque i babilonesi (popolo molto sottovalutato matematicamente a causa dell'impostazione assiomatica della matematica odierna di cui essi ovviamente mancavano) sapevano risolverla algebricamente, mentre è probabile che i pitagorici la risolvessero geometricamente.
Tardi pitagorici sono invece i contributi riguardanti le famose terne (queste sì loro, per quanto materiale indimostrato e solo alcune delle infinite possibili) e lo studio delle proporzioni e di qualche numero speciale (come quelle triangolari).
Pitagora insomma ha avuto importanza nella storia umana per i suoi contributi filosofici e musicali, ma è una figura marginale nella storia matematica se paragonato anche solo a figure di poco posteriori come Ippocrate di Chio (specializzato nella quadratura di aree curvilinee) e Archita (raddoppio del volume del cubo) oppure, andando poco più in là (circa l'età di Platone e Aristotele) di Eudosso, celebre per aver definito rigorosamente le proporzioni (la definizione fu riportata da Euclide negli elementi) e per il metodo di esaustione, una SPECIE DI EQUIVALENTE (l'ho ben indicato, eh ^^) del calcolo integrale che permise al suo ideatore di gestire abbastanza agilmente l'infinito e di dimostrare che il rapporto delle aree di due cerchi è il quadrato del rapporto dei diametri corrispettivi.
"Nikilist":
Pitagora insomma ha avuto importanza nella storia umana per i suoi contributi filosofici e musicali, ma è una figura marginale nella storia matematica [...]
Come fai a definire "marginale" il contributo di Pitagora nella Storia della Matematica? A mio avviso (e credo, spero di non essere l'unico a pensarla così), Pitagora è stato uno dei grandi geni della Matematica, che hanno gettato le basi della geometria elementare. Secondo me, ragionando come fai tu, arriveremmo a sostenere che Leibnitz e Newton hanno avuto un ruolo marginale nel gettare le fondamenta del Calcolo Infinitesimale.
EDIT: mi scuso per l'OT, ma in questo caso non potevo proprio non dire la mia.
Escludendo il fatto che non mi piace il comportamento di Newton nella faccenda perché fosse stato per lui l'analisi sarebbe nata un secolo dopo, Pitagora è famoso per ignoranza (intesa in senso passivo come mancata diffusione) della storia della matematica, materia che è poco diffusa anche oggi e che sì è sviluppata solo in questo secolo. Il predominio della figura di pitagora si basa sulla credenza che tutti i risultati che portano il suo nome siano suoi, quando in realtà non aveva ancora adottato una vera e propria impostazione assiomatica e (come ho già scritto sopra) i risultati non erano individuali ma comuni alla scuola, e alla concezione quasi dogmatica (in senso negativo) che è impartita a livello di elementari-superiori, dove si fa credere che Pitagora e Euclide siano il "non plus ultra" della geometria "classica" (o, per meglio dire, sintetica) quando in realtà risultati molto più interessanti e importanti (come l'area di segmento parabolico di Archimede o il metodo di esaustione di Eudosso) vengono "dimenticati" o non impartiti perché troppo avanzati o poco pratici a fini didattici. Il problema è che nessuno ci ricorda, nemmeno ci dice che questi risultati esistono se non andiamo noi a cercarli trovandoli quasi per caso. Le stesse formule di area e volume delle figure piane e solide sono quasi date come verità cadute dal cielo, e solo Archimede sa quanto ha faticato per quei $4pir^2$ e $4/3 pi r^3$. Aggiungerei che non si hanno nemmeno dati certi sulla vita di Pitagora, e se consideriamo la storia della sua epoca le cose migliorano di poco, quindi non ci si può aspettare di avere informazioni chiare sulle scoperte di una setta abbastanza chiusa che trasmetteva oralmente il sapere e che provava a nascondere i risultati che non le piacevano (come l'irrazionalità di $sqrt(2)$).
Purtroppo ritengo che a parte pochi "addetti ai lavori" la diffusione e la conoscenza della storia della matematica sia ai livelli di cultura di un partecipante a un Grande Fratello o Isola dei Famosi qualsiasi. Perché questo ? Semplicemente perché nessuno dopo il diploma si è preso la briga di studiare o di informarsi sull'argomento
Aggiungerei che i nomi dei teoremi hanno spesso poco a che fare con gli scopritori, sia il caso di De L'Hopital, nobile che finanziò dei matematici e che prese le loro scoperte a nome suo, alla serie di Maclaurin (concetto già noto ai matematici del 16° secolo), il quale subì il contrappasso quando il teorema di Cramer da lui dimostrato venne assegnato a quest'ultimo, al triangolo di Tartaglia/Pascal, che era già noto ai matematici cinesi.
Purtroppo ritengo che a parte pochi "addetti ai lavori" la diffusione e la conoscenza della storia della matematica sia ai livelli di cultura di un partecipante a un Grande Fratello o Isola dei Famosi qualsiasi. Perché questo ? Semplicemente perché nessuno dopo il diploma si è preso la briga di studiare o di informarsi sull'argomento
Aggiungerei che i nomi dei teoremi hanno spesso poco a che fare con gli scopritori, sia il caso di De L'Hopital, nobile che finanziò dei matematici e che prese le loro scoperte a nome suo, alla serie di Maclaurin (concetto già noto ai matematici del 16° secolo), il quale subì il contrappasso quando il teorema di Cramer da lui dimostrato venne assegnato a quest'ultimo, al triangolo di Tartaglia/Pascal, che era già noto ai matematici cinesi.
Stando a quanto sostieni, parrebbe che i nomi dei teoremi siano assegnati quasi a casaccio. Non sono particolarmente preparato in Storia della Matematica, ma quello che sostiene mi pare per lo meno azzardato: sono d'accordo che i Cinesi fossero storicamente a conoscenza del teorema di Tartaglia-Pascal, ma dubito che avessero alle spalle il formalismo logico-teorico di altri che in epoche posteriori hanno affrontato il problema con rigore e precisione.
Non generalizzare: non dico che tutti i risultati fossero attribuiti a casaccio, lungi da lì, ma c'è ben più di un eccezione, dovuta anche a caratteri come Newton e Tartaglia (che erano gelosi delle proprie scoperte al punto da non divulgarle) e anche a problemi nazionalisti (un inglese sosterrà certamente che l'ideatore dell'analisi sia Newton, un tedesco che sei Lebinz, la verità sta nel mezzo).
Per quanto riguarda il caso particolare del triangolo, anche tartaglia non aveva formalismo matematico vero e proprio, ma solo un abbozzo di quella che è la scrittura matematica odierna. Nemmeno i segni delle operazioni erano uguali a quelli di oggi, preferendo ai simboli $+$ e $-$ le lettere p e m. Che io sappia (mia supposizione, ancora non legata a conoscenze sicure) dovrebbe essere Newton il primo (contemporaneamente a Pascal, forse) a dimostrare in modo vero e proprio la formula della potenza n-esima del binomio. Tartaglia e Cardano la usavano sì ma non avevano ancora il formalismo rigido ma preciso di due secoli dopo.
Per quanto riguarda il caso particolare del triangolo, anche tartaglia non aveva formalismo matematico vero e proprio, ma solo un abbozzo di quella che è la scrittura matematica odierna. Nemmeno i segni delle operazioni erano uguali a quelli di oggi, preferendo ai simboli $+$ e $-$ le lettere p e m. Che io sappia (mia supposizione, ancora non legata a conoscenze sicure) dovrebbe essere Newton il primo (contemporaneamente a Pascal, forse) a dimostrare in modo vero e proprio la formula della potenza n-esima del binomio. Tartaglia e Cardano la usavano sì ma non avevano ancora il formalismo rigido ma preciso di due secoli dopo.
Non credo di essere io a generalizzare: sei tu che continui a tirare fuori esempi nuovi a sostegno della tua tesi.
In ogni caso, non vedo cosa c'entri l'attribuzione di un dato risultato a un matematico con la reale importanza di quest'ultimo. Ma forse sono io che sto perdendo il filo del discorso...
In ogni caso, non vedo cosa c'entri l'attribuzione di un dato risultato a un matematico con la reale importanza di quest'ultimo. Ma forse sono io che sto perdendo il filo del discorso...
Ragazzi state uscendo un po' troppo dal seminato, siamo nell'area dedicata alla scuola Media.
somma i lati obbliqui e poi sottrai il risultato dal perimetro, in questo modo avrai la base. dividila per 2. a questo punto usa il la to obbliquo e la metà della base per trovare l'altezza, applicando il teorema di pitagora, se lo conosci.
avrai così la base e l'altezza. A = b x h : 2.
m94co.
ciaooooooooooo.
avrai così la base e l'altezza. A = b x h : 2.
m94co.
ciaooooooooooo.
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