Esercizio sottoinsiemi
Ho un dubbio:
"Dati gli insiemi $A = {s, u, o, n, a, t}$ e $B = {s, o, t}$ segna la relazione esatta:
- $A \subset B$
- $B \subset A$
- $A \subseteq B$
- $B \subseteq A$"
Secondo la definizione la giusta dovrebbe essere $B \subset A$ dato che $B$ non è un sottoinsieme improprio di $A$. Giusto?
Grazie.
"Dati gli insiemi $A = {s, u, o, n, a, t}$ e $B = {s, o, t}$ segna la relazione esatta:
- $A \subset B$
- $B \subset A$
- $A \subseteq B$
- $B \subseteq A$"
Secondo la definizione la giusta dovrebbe essere $B \subset A$ dato che $B$ non è un sottoinsieme improprio di $A$. Giusto?
Grazie.
Risposte
giusto
Scusate se mi intrometto, ma questi sottoinsiemi impropri di cui si e' parlato che cosa sono?
Dato un insieme $A$ allora i suoi sottoinsiemi impropri sono: $A$ e $\emptyset$
Grazie per avermi risposto! Ma perche' chiamarli impropri? Che cos'hanno che non va?
Perchè (credo) che la definizione di sottoinsieme proprio:
"$B$ è un sottoinsieme proprio di $A$ ed indichiamo con $B \subset A$ quando ogni elemento di $B$ appartiene ad $A$ ma esiste almeno un elemento di $A$ che non appartiene a $B$"
non valga per $A$ e $\emptyset$.
"$B$ è un sottoinsieme proprio di $A$ ed indichiamo con $B \subset A$ quando ogni elemento di $B$ appartiene ad $A$ ma esiste almeno un elemento di $A$ che non appartiene a $B$"
non valga per $A$ e $\emptyset$.
Sandokan,
questo è il forum delle "Medie".
Per favore tienilo presente.
Non stiamo parlando fra studenti di mate o affini.
Per le persone normali, come per fortuna sono, ad esempio (di solito), gli studenti delle medie, le "relazioni di ordine" o assimilabili sono quelle strette.
Le relazioni tipo $\le$ o $\subseteq$ sono costrutti formali che hanno un sapore di artificioso.
Da qui il linguaggio che ti incuriosisce tanto.
Poi chi fa mate si abitua alle cose anormali...
questo è il forum delle "Medie".
Per favore tienilo presente.
Non stiamo parlando fra studenti di mate o affini.
Per le persone normali, come per fortuna sono, ad esempio (di solito), gli studenti delle medie, le "relazioni di ordine" o assimilabili sono quelle strette.
Le relazioni tipo $\le$ o $\subseteq$ sono costrutti formali che hanno un sapore di artificioso.
Da qui il linguaggio che ti incuriosisce tanto.
Poi chi fa mate si abitua alle cose anormali...
"DavidGnomo":
Perchè (credo) che la definizione di sottoinsieme proprio:
"$B$ è un sottoinsieme proprio di $A$ ed indichiamo con $B \subset A$ quando ogni elemento di $B$ appartiene ad $A$ ma esiste almeno un elemento di $A$ che non appartiene a $B$"
non valga per $A$ e $\emptyset$.
attenzione, non vale per $A$
ma può valere per $\emptyset$
Esempio: $A={0,1}$
Come vedi, $\emptyset$ soddisfa la condizione che hai posto.
Un modo chiaro per vedere le cose potrebbe essere questo:
- si parte dalla def di sottoinsieme solita: $B \subseteq A$ significa: "ogni elemento di $B$ è anche elemento di $A$"
- si osserva che, qualunque sia $A$, due insiemi speciali soddisfano questa definizione: $\emptyset$ e $A$ (se $A = \emptyset$ coincidono!)
- questi insiemi speciali, $A$ e $\emptyset$, conveniamo di chiamarli sottoinsiemi impropri di $A$, mentre tutti gli altri li chiamiamo propri.
PS: per Sandokan.
Anche se resto convinto della inopportunità della domanda, sono evidentemente obbligato ad ammettere che hai sollecitato un chiarimento opportuno.
E se dicessimo (intuitivamente) che per valere la definizione di sottoinsieme proprio , $B \subset A$ allora $B$ deve possedere almeno un elemento poichè la prima parte della definizione dice che "ogni elemento di $B$ appartiene anche ad $A$ ? E visto che il vuoto non ha elementi allora già decade per lui questa definizione di sottoinsieme proprio. Sto vaneggiando eh? 
Fioravante te hai fatto l'esempio di $A$ ma , per non perdere di generalità, dovremmo considerare anche il caso che $A = \emptyset$ e il vuoto non è sottoinsieme proprio del vuoto...o sbaglio?
Scusate le domande che possono sembrare sciocche ma è tanto per capire meglio
Alla fine considerando un $B \subseteq A$ restiamo nel generico, possiamo condierare $B$ vuoto, parte o uguale ad $A$.
Fioravante te hai fatto l'esempio di $A$ ma , per non perdere di generalità, dovremmo considerare anche il caso che $A = \emptyset$ e il vuoto non è sottoinsieme proprio del vuoto...o sbaglio?
Scusate le domande che possono sembrare sciocche ma è tanto per capire meglio
Alla fine considerando un $B \subseteq A$ restiamo nel generico, possiamo condierare $B$ vuoto, parte o uguale ad $A$.
"DavidGnomo":
E se dicessimo (intuitivamente) che per valere la definizione di sottoinsieme proprio , $B \subset A$ allora $B$ deve possedere almeno un elemento poichè la prima parte della definizione dice che "ogni elemento di $B$ appartiene anche ad $A$ ? E visto che il vuoto non ha elementi allora già decade per lui questa definizione di sottoinsieme proprio. Sto vaneggiando eh?
un po'
Seriamente, commetti un errore di carattere logico (ma sei in buona compagnia a farlo).
Se io dico: "ogni marziano qui presente di fonte a me ha 44 occhi verdi", visto che non sono in loro compagnia (giuro! Siamo d'accordo di vederci al bar di Deimos più tardi), questa affermazione è vera. Senza bisogno di controllare su Wikipadia quanti occhi abbia un marziano, né se possano avere o non occhi verdi.
Quando dici:
"ogni elemento di $B$ appartiene anche ad $A$", questa affermazione è vera (senza bisogno di perdere tempo a fare verifiche) se $B = \emptyset$ proprio per il fatto che $\emptyset$ non contiene elementi.
"DavidGnomo":
Fioravante te hai fatto l'esempio di $A$ ma , per non perdere di generalità, dovremmo considerare anche il caso che $A = \emptyset$ e il vuoto non è sottoinsieme proprio del vuoto...o sbaglio?
non capisco
Si sulla prima parte ho detto una nefandezza, anche perchè con la mia frase errata avrei fatto fuori anche il $\emptyset \subseteq A$.
Per quanto riguarda l'altra domanda, te avevi scritto che la mia definizione di sottoinsieme proprio non vale per $A$ ma vale per $\emptyset$. (da cui il mio discorso errato di prima).
Qui ti chiedo, visto che stiamo parlando di insiemi generici allora se diciamo $B \subset A$, $A$ deve essere non vuoto, altrimenti la definizione non andrebbe piu' bene se $B = \emptyset$.
Forse proprio per ovviare a questo problema si considera $\emptyset$ un sottoinsieme improprio e non proprio di un qualsiasi insieme (compreso il vuoto). Non so se mi sono spiegato in modo umano o.O (nel caso il tuo amico alieno potrà tradurre il mio ragionamento marziano ahhah)
Riassumendo:
- $B \subset A$ se $B = \emptyset$ la definizione è corretta
- $B \subset A$ se $B = A = \emptyset$ la definizione non è piu' corretta
quindi perdiamo di generalità. Per questo (credo) consideriamo $\emptyset$ un sottoinsieme improprio di un generico insieme $A$
Per quanto riguarda l'altra domanda, te avevi scritto che la mia definizione di sottoinsieme proprio non vale per $A$ ma vale per $\emptyset$. (da cui il mio discorso errato di prima).
Qui ti chiedo, visto che stiamo parlando di insiemi generici allora se diciamo $B \subset A$, $A$ deve essere non vuoto, altrimenti la definizione non andrebbe piu' bene se $B = \emptyset$.
Forse proprio per ovviare a questo problema si considera $\emptyset$ un sottoinsieme improprio e non proprio di un qualsiasi insieme (compreso il vuoto). Non so se mi sono spiegato in modo umano o.O (nel caso il tuo amico alieno potrà tradurre il mio ragionamento marziano ahhah)
Riassumendo:
- $B \subset A$ se $B = \emptyset$ la definizione è corretta
- $B \subset A$ se $B = A = \emptyset$ la definizione non è piu' corretta
quindi perdiamo di generalità. Per questo (credo) consideriamo $\emptyset$ un sottoinsieme improprio di un generico insieme $A$
"DavidGnomo":
Qui ti chiedo, visto che stiamo parlando di insiemi generici allora se diciamo $B \subset A$, $A$ deve essere non vuoto, altrimenti la definizione non andrebbe piu' bene se $B = \emptyset$.
Coretto.
Infatti, nel caso in cui $A = \emptyset$, non ci sono sottoinsiemi propri. D'altronde, non vi sono sottoinsiemi propri neanche per $A = {1}$ o, in generale, per un insieme che contenga esattamente un elemento.
Ri-scusa la domanda, ma se $A = {1}$ non esistono sottoinsiemei propri solo se consideriamo $\emptyset$ un insieme improprio, altrimenti anche quell'insieme avrebbe un sottoinsieme proprio che è il vuoto, no?
"DavidGnomo":
Ri-scusa la domanda, ma se $A = {1}$ non esistono sottoinsiemei propri solo se consideriamo $\emptyset$ un insieme improprio, altrimenti anche quell'insieme avrebbe un sottoinsieme proprio che è il vuoto, no?
attenzione, io non ho mai parlato di insieme improprio ma solo di sottoinsieme improprio
ricordo quanto detto:
"Fioravante Patrone":
Un modo chiaro per vedere le cose potrebbe essere questo:
- si parte dalla def di sottoinsieme solita: $B \subseteq A$ significa: "ogni elemento di $B$ è anche elemento di $A$"
- si osserva che, qualunque sia $A$, due insiemi speciali soddisfano questa definizione: $\emptyset$ e $A$ (se $A = \emptyset$ coincidono!)
- questi insiemi speciali, $A$ e $\emptyset$, conveniamo di chiamarli sottoinsiemi impropri di $A$, mentre tutti gli altri li chiamiamo propri.
da cui segue che:
- ${1}$ ha due distinti sottoinsiemi: $\emptyset$ e ${1}$
- questi due sottoinsiemi sono entrambi sottoinsiemi impropri, e quindi non ci sono sottoinsiemi propri
Oh ecco, allora concordiamo tutti che i sottoinsiemi impropri di un generico insieme sono il vuoto e l'insieme stesso? Cos'è che non andava, allora, in quello che avevo scritto molto post fa? o.O
PS: Questa è l'ultima poi ti lascio andare sennò mi mandi chissà quale strane creature a stanarmi hihihiih. (In realtà discutere sulle questioni matematiche è una delle cose che mi piace di piu')
PS: Questa è l'ultima poi ti lascio andare sennò mi mandi chissà quale strane creature a stanarmi hihihiih. (In realtà discutere sulle questioni matematiche è una delle cose che mi piace di piu')
"DavidGnomo":
Oh ecco, allora concordiamo tutti che i sottoinsiemi impropri di un generico insieme sono il vuoto e l'insieme stesso? Cos'è che non andava, allora, in quello che avevo scritto molto post fa? o.O
mi sembra di averti dato già la risposta:
"Fioravante Patrone":
[quote="DavidGnomo"]Perchè (credo) che la definizione di sottoinsieme proprio:
"$B$ è un sottoinsieme proprio di $A$ ed indichiamo con $B \subset A$ quando ogni elemento di $B$ appartiene ad $A$ ma esiste almeno un elemento di $A$ che non appartiene a $B$"
non valga per $A$ e $\emptyset$.
attenzione, non vale per $A$
ma può valere per $\emptyset$
Esempio: $A={0,1}$
Come vedi, $\emptyset$ soddisfa la condizione che hai posto.
[/quote]
"DavidGnomo":
PS: Questa è l'ultima poi ti lascio andare sennò mi mandi chissà quale strane creature a stanarmi hihihiih. (In realtà discutere sulle questioni matematiche è una delle cose che mi piace di piu')
In effetti la devo piantare qui, stasera.
E' che la falla nello spazio tempo si chiude fra 15 minuti.
Se perdo l'occasione, devo pendere il traghetto fotonico che ci mette 3 ore e arrivo in ritardo!
Ok, grazie di tutto Fioravante buon viaggo cosmicooooooo
buon viaggo cosmicooooooo
"Fioravante Patrone":
Sandokan,
questo è il forum delle "Medie".
Per favore tienilo presente.
Non stiamo parlando fra studenti di mate o affini.
Per le persone normali, come per fortuna sono, ad esempio (di solito), gli studenti delle medie, le "relazioni di ordine" o assimilabili sono quelle strette.
Le relazioni tipo $\le$ o $\subseteq$ sono costrutti formali che hanno un sapore di artificioso.
Da qui il linguaggio che ti incuriosisce tanto.
Poi chi fa mate si abitua alle cose anormali...
E' giustissimo...
Salve,
condivido pienamente la prima osservazione di Tipper e non capisco il perchè di cotanta confusione da parte degli altri. Siccome non tutti i testi di algebra o geometria evidenziano la differenza tra inclusione improria ed inclusione propria, mi sento di segnalare alcune pagine del libro da dove io stesso studia:
Capirò l'estraneità dell'autore del forum, visto che egli viene a collocarsi nel reparto "scuola secondaria", ma mi sembra, a mio avviso, utile fare delle precise osservazioni, visto che talvolta alcuni libri non lo fanno.
Cordiali saluti
condivido pienamente la prima osservazione di Tipper e non capisco il perchè di cotanta confusione da parte degli altri. Siccome non tutti i testi di algebra o geometria evidenziano la differenza tra inclusione improria ed inclusione propria, mi sento di segnalare alcune pagine del libro da dove io stesso studia:
Capirò l'estraneità dell'autore del forum, visto che egli viene a collocarsi nel reparto "scuola secondaria", ma mi sembra, a mio avviso, utile fare delle precise osservazioni, visto che talvolta alcuni libri non lo fanno.
Cordiali saluti
"garnak.olegovitc":
Salve,
condivido pienamente la prima osservazione di Tipper e non capisco il perchè di cotanta confusione da parte degli altri. Siccome non tutti i testi di algebra o geometria evidenziano la differenza tra inclusione improria ed inclusione propria, mi sento di segnalare alcune pagine del libro da dove io stesso studia:
...
Capirò l'estraneità dell'autore del forum, visto che egli viene a collocarsi nel reparto "scuola secondaria", ma mi sembra, a mio avviso, utile fare delle precise osservazioni, visto che talvolta alcuni libri non lo fanno.
Cordiali saluti
Non solo la discussione è nell'area della scuola secondaria, ma addirittura in quella della Secondaria di I grado, cioè la scuola Media, rivolta a studenti di 12-14 anni e mi pare che quello che hai postato sia leggermente fuori luogo. Agli studenti che frequentano quest'area non è ancora chiaro che cosa sia un testo di algebra, visto che il loro libro di solito si chiama Aritmetica e Geometria. Con questo sistema mi spaventi i piccoli.
Diverso sarebbe stato se l'intervento fosse stato postato in Secondaria di II grado, in cui avrebbe avuto un senso e sarebbe stato di aiuto.
Salve @melia,
i "suoi piccoli" non devono essere spaventati ma incuriositi ed inclini ad apprendere la qualsivoglia formalità matematica. Ciò che io ho scritto precedentemente non era rivolto all'autore del forum (verso il quale avevo ribadito che la risposta più consone, al suo livello di apprendimento matematico, fosse la prima che gli fu data) ma a tutti gli altri che si "dannavano l'anima" (come direbbe il Russo nei confronti del personaggio verghiano Mastro Don Gesualdo) nel comprendere la differenza tra inclusione propria ed impropria. Spero tanto che tale situazione non mi mandi al rogo, scherzosamente parlando!!
Cordiali saluti
i "suoi piccoli" non devono essere spaventati ma incuriositi ed inclini ad apprendere la qualsivoglia formalità matematica. Ciò che io ho scritto precedentemente non era rivolto all'autore del forum (verso il quale avevo ribadito che la risposta più consone, al suo livello di apprendimento matematico, fosse la prima che gli fu data) ma a tutti gli altri che si "dannavano l'anima" (come direbbe il Russo nei confronti del personaggio verghiano Mastro Don Gesualdo) nel comprendere la differenza tra inclusione propria ed impropria. Spero tanto che tale situazione non mi mandi al rogo, scherzosamente parlando!!
Cordiali saluti
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