Criteri di divisibilità I media
"Dato il numero 1089, scambiando di posto tra di loro le cifre in tutti i modi possibili, quanti multipli di 5, che non cominciano con lo zero, si possono ottenere?"
c'è una formula o un criterio matematico per risolvere il problema senza dover scrive tutte le combinazioni possibili?
c'è una formula o un criterio matematico per risolvere il problema senza dover scrive tutte le combinazioni possibili?
Risposte
Ti ricordo che un numero è divisibile per $5$ se e solo se l'ultima cifra è $0$ oppure $5$... Nel numero $1089$ solo la cifra $0$ è divisibile per $5$, quindi devi semplicemente contare quanti possibili combinazioni ci sono quando l'ultima cifra è $0$ (per esempio $1890$, $1980$, ecc.). Ci sarebbe anche un modo per evitare di contare quest'ultime, ma non lo imparerai alle scuole medie.
Ciao Alessia,
benvenuta sul forum!
Non ho capito la domanda: i multipli di 5 terminano con 0 e 5 dunque utilizzando le cifre di 1089 possiamo ottenere:
1890, 1980, 8190, 8910, 9180, 9810
ma tutte hanno lo zero all'ultimo* posto (visto che la cifra 5 non compare nel numero originario).
*in realtà non ho capito cosa intendi con le parole "non cominciano con lo zero", quale posizone lo zero non può occupare?
benvenuta sul forum!
Non ho capito la domanda: i multipli di 5 terminano con 0 e 5 dunque utilizzando le cifre di 1089 possiamo ottenere:
1890, 1980, 8190, 8910, 9180, 9810
ma tutte hanno lo zero all'ultimo* posto (visto che la cifra 5 non compare nel numero originario).
*in realtà non ho capito cosa intendi con le parole "non cominciano con lo zero", quale posizone lo zero non può occupare?
"non cominciano con lo zero" è nel testo del problema, credo indichi di non considerare i numeri 0189, 0198, 0918....lo ho risolto anch'io scrivendo le possibili combinazioni che hanno lo 0 come ultima cifra, mi domandavo se c'è un modo per sapere quante sono senza scriverle (es. calcolare il numero delle combinazioni possibili e dividere per 4 visto che i numeri devono finire con lo 0)
Non è una cosa che si studia alle medie e quindi non ti spiegherò rigorosamente il perché, ma cercherò di fartelo capire.
Diciamo che abbiamo un numero enorme tipo $1234567$. Se avevamo un problema uguale che ci chiedeva in questo caso in quanti modi possibili si possono scambiare le cifre in modo che il numero sia divisibile per $5$, avremmo impiegato tantissimo tempo a contare tutte le possibili combinazioni. C'è però un modo che ci permette di evitare di farlo.
Innanzitutto il numero deve per forza iniziare per $5$ in questo caso, per esempio $1234675$. Tutte le combinazioni valide sono tutti i modi di ordinare le cifre di $123467$ a cui aggiungo la cifra $5$ alla fine. Ma quanti modi ci sono di ordinare le cifre di $123467$? Pensala così:
Ci sono 6 numeri che posso scegliere come prima cifra. Una volta che ho scelto la prima, ci sono 5 numeri che possono scegliere come seconda cifra. Scelta la seconda, ci sono 4 numeri che posso scegliere come terza cifra, ecc., ci sono 3 numeri che posso scegliere come quarta, 2 come quinta e alla fine mi rimane un solo numero.
Tutti i possibili modi di ordinare quindi le cifre di $123467$ sono quindi dati da $6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$.
E questo risultato finale è proprio la risposta al problema.
Se volessi usare questo metodo per il tuo problema è molto più semplice: dobbiamo calcolare i modi di ordinare le cifre di $189$. Essi sono $3 \times 2 \times 1 = 6$.
Spero sia chiaro, comunque nel caso non lo sia non ti preoccupare, perché come ti ho detto non si studia alle medie.
Diciamo che abbiamo un numero enorme tipo $1234567$. Se avevamo un problema uguale che ci chiedeva in questo caso in quanti modi possibili si possono scambiare le cifre in modo che il numero sia divisibile per $5$, avremmo impiegato tantissimo tempo a contare tutte le possibili combinazioni. C'è però un modo che ci permette di evitare di farlo.
Innanzitutto il numero deve per forza iniziare per $5$ in questo caso, per esempio $1234675$. Tutte le combinazioni valide sono tutti i modi di ordinare le cifre di $123467$ a cui aggiungo la cifra $5$ alla fine. Ma quanti modi ci sono di ordinare le cifre di $123467$? Pensala così:
Ci sono 6 numeri che posso scegliere come prima cifra. Una volta che ho scelto la prima, ci sono 5 numeri che possono scegliere come seconda cifra. Scelta la seconda, ci sono 4 numeri che posso scegliere come terza cifra, ecc., ci sono 3 numeri che posso scegliere come quarta, 2 come quinta e alla fine mi rimane un solo numero.
Tutti i possibili modi di ordinare quindi le cifre di $123467$ sono quindi dati da $6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$.
E questo risultato finale è proprio la risposta al problema.
Se volessi usare questo metodo per il tuo problema è molto più semplice: dobbiamo calcolare i modi di ordinare le cifre di $189$. Essi sono $3 \times 2 \times 1 = 6$.
Spero sia chiaro, comunque nel caso non lo sia non ti preoccupare, perché come ti ho detto non si studia alle medie.
"alessiapo":
"non cominciano con lo zero" è nel testo del problema, credo indichi di non considerare i numeri 0189, 0198, 0918....lo ho risolto anch'io scrivendo le possibili combinazioni che hanno lo 0 come ultima cifra, mi domandavo se c'è un modo per sapere quante sono senza scriverle (es. calcolare il numero delle combinazioni possibili e dividere per 4 visto che i numeri devono finire con lo 0)
Quello che devi usare si chiama il fattoriale dei numeri diversi dallo zero ma non penso che si faccia alle medie .
Tu fai cosi , prendi ad esempio il tuo esercizio con il numero $1089$ ,
hai tre numeri diversi da $0$ , quindi fai $1*2*3=6$ combinazioni
se erano 4 numeri diversi dallo zero ,
basta che facevi $1*2*3*4=24$ ,
se erano $5$ facevi $1*2*3*4*5=120$
se erano $6$ facevi $1*2*3*4*5*6=720$
etc. etc.
"Stellinelm":
Quello che devi usare si chiama il fattoriale dei numeri diversi dallo zero ma non penso che si faccia alle medie .
Tu fai cosi , prendi ad esempio il tuo esercizio con il numero $1089$ ,
hai tre numeri diversi da $0$ , quindi fai $1*2*3=6$ combinazioni
se erano 4 numeri diversi dallo zero ,
basta che facevi $1*2*3*4=25$ <<<=== ERRORE
se erano $5$ facevi $1*2*3*4*5=120$
se erano $6$ facevi $1*2*3*4*5*6=720$
etc. etc.
Magari fosse così semplice!
È vero che bisogna usare il fattoriale, che matematicamente si scrive con un punto esclamativo (esempio $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$)... Però la situazione si complica se ci sono elementi uguali. Se per esempio per l'esercizio iniziale c'era come numero $1088$, le combinazioni possibili divisibili per $5$ non sono pari a $3! = 6$, infatti se le contiamo:
$1880$, $8180$, $8810$.
Solo $3$. La motivazione di questo non te la posso spiegare perché va al di fuori di ogni conoscenza prima del secondo superiore (credo), ti posso dire però che il calcolo che avresti dovuto fare in questo caso si scrive
$= (3!)/(2!) = 6/2 = 3$.
Non pretenderò che sia chiaro ovviamente
hai ragione prof. 
correggo subito in 24 
Beh allora possiamo dire ad Alessia di usare come ho detto io solo se i numeri sono distinti
, giusto ? 
p.s. : ciao prof .
stanotte penso ad un problema irrisolvibile e domani lo posto
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