Congruenze tra triangoli !urgente!

[SeleneRaco]

Dato un triangolo isoscele ABC,di vertice A ,costruire esternamente ad esso due triangoli congruenti ABD e ACE dimostrare che BE è congruente a CD

[Ithaca]

Sposto in Matematica-Medie

:hi

[SteDV]

Ciao!

Sarebbe utile sapere di quali conoscenze disponi per risolvere questo genere di problemi...

Dal momento che trattiamo della congruenza dei triangoli, immagino tu abbia studiato i tre criteri di congruenza (in questo caso, servirebbe il primo).
Inoltre, la mia prima idea di soluzione del problema richiederebbe anche il teorema del triangolo isoscele: quello secondo il quale se un triangolo è isoscele allora ha gli angoli alla base congruenti.
Puoi dirmi se l'hai studiato?

[SeleneRaco]

Per ora ho studiato solo primo e secondo criterio ,e si,anche il teorema del triangolo isoscele ho studiato ma non approfonditamente

[SteDV]

Molto bene allora...

Come sempre, in questo genere di problemi, bisogna ragionare a partire dalla tesi: i segmenti

[math]CD[/math]

e

[math]BE[/math]

sono lati dei triangoli

[math]BCD[/math]

e

[math]BCE[/math]

, apparentemente congruenti, e possiamo, perciò, dimostrare la loro congruenza attraverso la congruenza dei triangoli a cui appartengono.


Tali triangoli (

[math]BCD[/math]

e

[math]BCE[/math]

) hanno un lato in comune (la "base"

[math]BC[/math]

), mentre i lati

[math]BD[/math]

e

[math]CE[/math]

sono congruenti perché, per ipotesi, sono congruenti i triangoli

[math]ABD[/math]

e

[math]ACE[/math]

.


Tutto quello che ci resta da dimostrare è la congruenza degli angoli compresi tra le coppie di lati che sappiamo congruenti, così da poter applicare il primo criterio di congruenza ai triangoli

[math]BCD[/math]

e

[math]BCE[/math]

.


Consideriamo quindi gli angoli

[math]C\hat{B}D[/math]

e

[math]B\hat{C}E[/math]

: sono formati dagli angoli alla base del triangolo isoscele, congruenti per il noto teorema, e dagli angoli

[math]A\hat{B}D[/math]

e

[math]A\hat{C}E[/math]

, congruenti perché parte dei triangoli congruenti

[math]ABD[/math]

e

[math]ACE[/math]

; perciò, sono congruenti a loro volta.


Ti allego la rappresentazione del problema e ti riassumo la dimostrazione. Prova a ragionarci su!

DIMOSTRAZIONE
Consideriamo i triangoli

[math]BCD[/math]

e

[math]BCE[/math]

:

• [math]BC[/math]
  in comune;


• [math]BD \cong CE[/math]
  , perché, per ipotesi,
  [math]ABD \cong ACE[/math]
  ;


• [math]C\hat{B}D \cong B\hat{C}E[/math]
  , perché...
  
  
  
  [math]C\hat{B}D \cong A\hat{B}D + A\hat{B}C[/math]
  ,
  
  
  [math]B\hat{C}E \cong A\hat{C}E + A\hat{C}B[/math]
  ,
  
  
  [math]A\hat{B}D \cong A\hat{C}E[/math]
  (per l'ipotesi
  [math]ABD \cong ACE[/math]
  ),
  
  
  [math]A\hat{B}C \cong A\hat{C}B[/math]
  (per il teorema del triangolo isoscele).

Perciò

[math]BCD \cong BCE[/math]

, da cui

[math]CD \cong BE[/math]

!