Area di un segmento circolare
calcolare l'area di un segmento circolare corrispondente ad un angolo ampio 120 gradi appartenente ad un cerchio in cui il reggio è lungo 30 cm
Risposte
Ecco a te:
Calcoliamo innanzi tutto l'area di tutto quanto il cerchio di raggio 30 cm.
Nel seguito indico con il simbolo P il pi-greco.
Area cerchio = P x r^2 = 900 x P
Il settore circolare (ovvero lo "spicchio" di cerchio) che ha un angolo al centro di ampiezza 120° ha un'area pari ad 1/3 di quella dell'intero cerchio.
Infatti l'intero cerchio ha un angolo al centro di 360°, e 120° è 1/3 di 360°.
Quindi:
Area settore circolare: Area cerchio/3 = 900P/3 = 300 P = 942 cm^2
Unisco tra loro gli estremi dei due raggi che delimitano il settore.
Determino un traingolo isoscele che ha l'angolo al vertice i 120° e i lati uguali che misurano 30 cm (in quanto raggi della circonferenza).
L'area del segmento circolare è pari all'area del settore (che abbiamo appena calcolato), meno l'area di questo triangolo.
Per poter determinare l'area del triangolo isoscele dovremmo poterne conoscere la base e l'altezza, e questo non è semplicissimo.
Si procede allora come segue.
Prolungo uno dei due raggi (lati uguali del traingolo isoscele), in mdoo da ottenere un diametro della circonferenza.
L'altro raggio -quello che non è stato prolungato- divide la metà del cerchio in due settori: uno ha un algolo al centro di 120° e l'latro, per ovvie ragioni, di 60°.
Analizziamo questo secondo settore.
Unendo gli estremi dei due raggi ottengo un secondo traingolo isoscele, che stavolta ha l'angolo al vertice di 60°.
Posso allora affermare che non si tratta di un triangolo solamente isoscele, ma bensì equilatero.
I lati, nel traingolo equilatero sono uguali.
Traccio l'altezza di questo secondo triangolo, la quale lo divide a metà, in due triangoli rettangoli.
Traccio ora l'altezza del primo triangolo isoscele 8quello con angolo al centro di 120°). Anch'essa divide il traingolo in due triangoli rettangoli tra loro uguali.
Dal disegno si evince subito che altezza del primo triangolo, metà base del prima traingolo, altezza del secondo traingolo e altezza del secondo triangolo formano un rettangolo.
Quindi, l'altezza del primo traingolo è pari alla metà del lato del secondo traingolo: 30:2 = 15 cm
La base del primo traingolo è invece pari al doppio dell'latezza del secondo triangolo:
base = √3 x 30 = 5,196 cm
Possiamo quindi calcolare l'area del primo traingolo isoscele:
15 x 5,196/2 = 38,97 cm^2
L'area del segmento circolare è:
area settore - area triangolo = 942 -38,97 = 903,03 cm^2.
Fine. Ciao!
Calcoliamo innanzi tutto l'area di tutto quanto il cerchio di raggio 30 cm.
Nel seguito indico con il simbolo P il pi-greco.
Area cerchio = P x r^2 = 900 x P
Il settore circolare (ovvero lo "spicchio" di cerchio) che ha un angolo al centro di ampiezza 120° ha un'area pari ad 1/3 di quella dell'intero cerchio.
Infatti l'intero cerchio ha un angolo al centro di 360°, e 120° è 1/3 di 360°.
Quindi:
Area settore circolare: Area cerchio/3 = 900P/3 = 300 P = 942 cm^2
Unisco tra loro gli estremi dei due raggi che delimitano il settore.
Determino un traingolo isoscele che ha l'angolo al vertice i 120° e i lati uguali che misurano 30 cm (in quanto raggi della circonferenza).
L'area del segmento circolare è pari all'area del settore (che abbiamo appena calcolato), meno l'area di questo triangolo.
Per poter determinare l'area del triangolo isoscele dovremmo poterne conoscere la base e l'altezza, e questo non è semplicissimo.
Si procede allora come segue.
Prolungo uno dei due raggi (lati uguali del traingolo isoscele), in mdoo da ottenere un diametro della circonferenza.
L'altro raggio -quello che non è stato prolungato- divide la metà del cerchio in due settori: uno ha un algolo al centro di 120° e l'latro, per ovvie ragioni, di 60°.
Analizziamo questo secondo settore.
Unendo gli estremi dei due raggi ottengo un secondo traingolo isoscele, che stavolta ha l'angolo al vertice di 60°.
Posso allora affermare che non si tratta di un triangolo solamente isoscele, ma bensì equilatero.
I lati, nel traingolo equilatero sono uguali.
Traccio l'altezza di questo secondo triangolo, la quale lo divide a metà, in due triangoli rettangoli.
Traccio ora l'altezza del primo triangolo isoscele 8quello con angolo al centro di 120°). Anch'essa divide il traingolo in due triangoli rettangoli tra loro uguali.
Dal disegno si evince subito che altezza del primo triangolo, metà base del prima traingolo, altezza del secondo traingolo e altezza del secondo triangolo formano un rettangolo.
Quindi, l'altezza del primo traingolo è pari alla metà del lato del secondo traingolo: 30:2 = 15 cm
La base del primo traingolo è invece pari al doppio dell'latezza del secondo triangolo:
base = √3 x 30 = 5,196 cm
Possiamo quindi calcolare l'area del primo traingolo isoscele:
15 x 5,196/2 = 38,97 cm^2
L'area del segmento circolare è:
area settore - area triangolo = 942 -38,97 = 903,03 cm^2.
Fine. Ciao!
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