Aiutoo!! (79719)
in un trapezio ABCD gli angoli A e B adiacenti alla base maggiore sno ampi, rispettivamente, 45° e 30°, l'altezza misura 20 cm e la base minore è congruente all'altezza. Calcola: a) la misura della base maggiore e del lato obliquo AD; b) il perimetro e l'area del trapezio; c) la misura della diagonale minore.
Risposte
Soluzione:
Tracciate le due altezze del trapezio, la base maggiore B si compone di tre tratti: un primo tratto viene ad essere il cateto orizzontale (chiamiamolo x) di un triangolo rettangolo che ha per cateto verticale l'altezza del trapezio e per ipotenusa il lato obliquo del trapezio; un secondo tratto pari alla base minore; un terzo tratto che viene ad essere il cateto orizzontale (chiamiamolo stavolta y) di un altro triangolo rettangolo che ha per cateto verticale l'altezza del trapezio e per ipotenusa l'altro lato obliquo del trapezio.
Quindi:
B = x + b + y.
Calcoliamo x. La base maggiore forma con il lato obliquo un angolo di 45°. Quindi il traingolo rettangolo di cui x è un cateto viene ad essere anche un triangolo isoscele. Se infatti la somma degli angoli interni di un triangolo è pari a 180°, abbiamo che 180° -90° -45° = 45°, cioè anche l'altro angolo acuto sarà pari a 45°.
Stando così le cose, x è pari all'altezza del trapezio, cioè 20 cm.
b è a sua volta congruente alla altezza, quindi misura anch'essa 20 cm.
Calcoliamo y. Poichè l'angolo formato da base maggiore e lato obliquo del trapezio misura 30°, l'altro angolo acuto del triangolo ne viene a misurare 60. Dunque il traingolo formato da y, lato obliquo e altezza trapezio è la metà di un triangolo equilatero in cui y è l'altezza, il lato obliquo è un lato e l'altezza del trapezio è pari a metà della base.
Poichè h = 20 cm, avremo allora che il lato obliquo è pari a 2 x 20 cm = 40 cm.
y si ricava invece grazie la teorema di Pitagora.
y = radice di (40^2 -20^2) = radice di (1600-400)= radice di 1200 = 34,64 cm circa.
Quindi B = x + b + y = 20 + 20 + 34,64 = 74,64 cm.
L'altro lato obliquo (quello che forma con la base maggiore un angolo di 45°), di cui il problema chiede la misura, può essere determinato ancora una volta con il teorema di Pitagora:
AD = radice di (20^2 +20^2) = radice di (400 +400) = radice di 800 = 28,28 cm circa.
Il perimetro è pari alla somma dei lati:
P = B + b + l1 + l2 = 20 + 74,64 + 40 + 28,28 = 162,92 cm
Area = (B+b) x h/2 = (74,64 + 20) x 20 /2 = 946,4 cm^2.
La diagonale minore è quella che, partendo da un estremo della base minore, lo congiunge con il vertice dell'angolo alla base di 45°.
Questa diagonale viene ad essere l'ipotenusa di un triangolo rettangolo che il cateto verticale pari all'altezza del trapezio 820 cm) e il cateto orizzontale pari a B+x = 40 cm.
Utilizzo dunque Pitagora:
D = radice di (40^2 + 20^2)= radice di (1600 +400) = radice di 2000 = 44,62 cm.
Fine. Ciao!
Tracciate le due altezze del trapezio, la base maggiore B si compone di tre tratti: un primo tratto viene ad essere il cateto orizzontale (chiamiamolo x) di un triangolo rettangolo che ha per cateto verticale l'altezza del trapezio e per ipotenusa il lato obliquo del trapezio; un secondo tratto pari alla base minore; un terzo tratto che viene ad essere il cateto orizzontale (chiamiamolo stavolta y) di un altro triangolo rettangolo che ha per cateto verticale l'altezza del trapezio e per ipotenusa l'altro lato obliquo del trapezio.
Quindi:
B = x + b + y.
Calcoliamo x. La base maggiore forma con il lato obliquo un angolo di 45°. Quindi il traingolo rettangolo di cui x è un cateto viene ad essere anche un triangolo isoscele. Se infatti la somma degli angoli interni di un triangolo è pari a 180°, abbiamo che 180° -90° -45° = 45°, cioè anche l'altro angolo acuto sarà pari a 45°.
Stando così le cose, x è pari all'altezza del trapezio, cioè 20 cm.
b è a sua volta congruente alla altezza, quindi misura anch'essa 20 cm.
Calcoliamo y. Poichè l'angolo formato da base maggiore e lato obliquo del trapezio misura 30°, l'altro angolo acuto del triangolo ne viene a misurare 60. Dunque il traingolo formato da y, lato obliquo e altezza trapezio è la metà di un triangolo equilatero in cui y è l'altezza, il lato obliquo è un lato e l'altezza del trapezio è pari a metà della base.
Poichè h = 20 cm, avremo allora che il lato obliquo è pari a 2 x 20 cm = 40 cm.
y si ricava invece grazie la teorema di Pitagora.
y = radice di (40^2 -20^2) = radice di (1600-400)= radice di 1200 = 34,64 cm circa.
Quindi B = x + b + y = 20 + 20 + 34,64 = 74,64 cm.
L'altro lato obliquo (quello che forma con la base maggiore un angolo di 45°), di cui il problema chiede la misura, può essere determinato ancora una volta con il teorema di Pitagora:
AD = radice di (20^2 +20^2) = radice di (400 +400) = radice di 800 = 28,28 cm circa.
Il perimetro è pari alla somma dei lati:
P = B + b + l1 + l2 = 20 + 74,64 + 40 + 28,28 = 162,92 cm
Area = (B+b) x h/2 = (74,64 + 20) x 20 /2 = 946,4 cm^2.
La diagonale minore è quella che, partendo da un estremo della base minore, lo congiunge con il vertice dell'angolo alla base di 45°.
Questa diagonale viene ad essere l'ipotenusa di un triangolo rettangolo che il cateto verticale pari all'altezza del trapezio 820 cm) e il cateto orizzontale pari a B+x = 40 cm.
Utilizzo dunque Pitagora:
D = radice di (40^2 + 20^2)= radice di (1600 +400) = radice di 2000 = 44,62 cm.
Fine. Ciao!
Guarda bene la figura:
L'altezza CH forma un triangolo rettangolo con il lato obliquo e la base maggiore. AHD ha:
- come cateti AH e l'altezza DH:
- come ipotenusa il lato obliquo AD.
Questo triangolo rettangolo ha una particolarità: gli angoli acuti misurano entrambi 45°. Dunque si tratta di un triangolo rettangolo isoscele, cioè di un triangolo rettangolo che ha i cateti congruenti (=della stessa lunghezza). Di conseguenza:
- AH misura quanto DH, cioè 20 cm.
- la lunghezza dell'ipotenusa AD è uguale alla misura del cateto moltiplicata per la radice quadrata di 2.
Ad essere precisi la radice quadrata di 2 è un numero irrazionale, cioè un numero decimale in cui a destra della virgola troviamo cifre che si succedono all'infinito senza un ordine preciso. Chiaramente per eseguire i calcoli ho dovuto arrotondare questo numero. ;)
L'altezza CK, invece, forma un altro triangolo rettangolo con la base maggiore e il lato obliquo BC. Per la precisione:
- il cateto minore è l'altezza CK;
- il cateto maggiore è KB;
- l'ipotenusa è il lato obliquo BC.
Questo triangolo ha gli angoli acuti ampi 30 e 60° e, di conseguenza, ha queste caratteristiche:
- l'ipotenusa misura il doppio del cateto minore, quindi misura 40 cm;
- il cateto maggiore è lungo quanto la metà dell'ipotenusa moltiplicata per la radice quadrata di 3.
Anche la radice quadrata di 3 è un numero irrazionale, che quindi nel calcolo è approssimato.
La base maggiore è formata da:
- AH, che misura 20 cm;
- HK, che è lungo quanto la base minore (quindi 20 cm);
- KB, che misura 34 cm
Perciò: AB = AH + HK + KB = cm 20 + 20 + 34 = 74 cm
Ricapitolando tutto:
AB = 74 cm
CD = 20 cm
AD = 28 cm
BC = 34 cm
DH = CK = 20 cm
A questo punto puoi calcolare l'area e il perimetro. Passiamo alla diagonale minore.
La diagonale minore è il segmento AC (in viola). I segmenti AC, AK e CK formano un triangolo rettangolo. AC è l'ipotenusa, CK il cateto minore e AK il cateto maggiore. Vediamo un po' quali misure conosciamo:
CK = 20 cm
AK = ?
AC = ?
Osservando la figura ti renderai conto che AK è costituito dai segmenti AH e HK, che misurano entrambi 20 cm, perciò AK = 40 cm
Con Pitagora calcoliamo AC:
Spero di esserti stata utile. Ciao! :hi
L'altezza CH forma un triangolo rettangolo con il lato obliquo e la base maggiore. AHD ha:
- come cateti AH e l'altezza DH:
- come ipotenusa il lato obliquo AD.
Questo triangolo rettangolo ha una particolarità: gli angoli acuti misurano entrambi 45°. Dunque si tratta di un triangolo rettangolo isoscele, cioè di un triangolo rettangolo che ha i cateti congruenti (=della stessa lunghezza). Di conseguenza:
- AH misura quanto DH, cioè 20 cm.
- la lunghezza dell'ipotenusa AD è uguale alla misura del cateto moltiplicata per la radice quadrata di 2.
[math]AD = AH * \sqrt{2} = cm\;20 * 1,4 = 28\;cm[/math]
Ad essere precisi la radice quadrata di 2 è un numero irrazionale, cioè un numero decimale in cui a destra della virgola troviamo cifre che si succedono all'infinito senza un ordine preciso. Chiaramente per eseguire i calcoli ho dovuto arrotondare questo numero. ;)
L'altezza CK, invece, forma un altro triangolo rettangolo con la base maggiore e il lato obliquo BC. Per la precisione:
- il cateto minore è l'altezza CK;
- il cateto maggiore è KB;
- l'ipotenusa è il lato obliquo BC.
Questo triangolo ha gli angoli acuti ampi 30 e 60° e, di conseguenza, ha queste caratteristiche:
- l'ipotenusa misura il doppio del cateto minore, quindi misura 40 cm;
- il cateto maggiore è lungo quanto la metà dell'ipotenusa moltiplicata per la radice quadrata di 3.
[math]KB = \frac{BC * \sqrt{3}} {2} = \frac{\no{40}^{20} * \sqrt{3}} {\no2^1} = 20 *\sqrt{3} = 20*1,7 = 34\;cm[/math]
Anche la radice quadrata di 3 è un numero irrazionale, che quindi nel calcolo è approssimato.
La base maggiore è formata da:
- AH, che misura 20 cm;
- HK, che è lungo quanto la base minore (quindi 20 cm);
- KB, che misura 34 cm
Perciò: AB = AH + HK + KB = cm 20 + 20 + 34 = 74 cm
Ricapitolando tutto:
AB = 74 cm
CD = 20 cm
AD = 28 cm
BC = 34 cm
DH = CK = 20 cm
A questo punto puoi calcolare l'area e il perimetro. Passiamo alla diagonale minore.
La diagonale minore è il segmento AC (in viola). I segmenti AC, AK e CK formano un triangolo rettangolo. AC è l'ipotenusa, CK il cateto minore e AK il cateto maggiore. Vediamo un po' quali misure conosciamo:
CK = 20 cm
AK = ?
AC = ?
Osservando la figura ti renderai conto che AK è costituito dai segmenti AH e HK, che misurano entrambi 20 cm, perciò AK = 40 cm
Con Pitagora calcoliamo AC:
[math]AC = \sqrt{AK^2 + CK^2} = \sqrt{40^2 + 20^2}[/math]
Spero di esserti stata utile. Ciao! :hi
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