Aiuto problema urgente

[poffola04]

in un triangolo rettangolo l'area è 24 m2 e un cateto è 3/4 dell'altro. calcola il rapporto tra i volumi dei due solidi che si ottengono facendo ruotare completamente il triangolo una volta attorno al cateto maggiore e una volta attorno all'ipotenusa

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Ciao,
indico con C e c, rispettivamente, il cateto maggiore e il cateto minore del triangolo.
abbiamo che:
c=(3/4)C e A=(C×c)/2=24
sostituendo la prima nella seconda, si ottiene:
(C×3/4C)/2=24;
(3/4C²)/2=24;
3/4C²=24×2;
3C²=48×4;
C²=192:3=64
C=√64=8 m
e
c=(8:4)×3=2×3=6 m
calcoliamo l'ipotenusa con il teorema di Pitagora:
i=√C²+c²=√8²+6²=√64+36=√100= 10m

Consideriamo il solido ottenuto facendo ruotare completamente il triangolo attorno al cateto maggiore.
Tale solido è un cono di raggio r coincidente con il cateto minore del triangolo rettangolo e altezza h coincidente con il cateto maggiore del triangolo.
abbiamo che:
r=c=6 m e h=C=8m
calcoliamo il volume del cono:
V=πr²h/3= (π×6²×8 )/3=(π×36×8 )/3=288π/3=96π m³


Consideriamo il solido generato dalla rotazione completa del triangolo attorno all'ipotenusa .Esso è composto da due coni con basi coincidenti che hanno apotemi uguali ai cateti del triangolo, raggio base (R) uguale all'altezza relativa all'ipotenusa del triangolo (k), mentre le altezze (H₁,H₂) sono le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.
abbiamo che:
a₁=C=8; a₂=c=6 m
Dal triangolo rettangolo.
calcoliamo l'altezza relativa all'ipotenusa:
k=2A:i=(2×24):10=48:10=4,8m
calcolo la proiezione del cateto maggiore sull'ipotenusa con il teorema di Euclide:
pC=C²:i=8²:10=64:10=6,4 m
calcoliamo la proiezione del cateto minore:
pc=i-pC=10-6,4=3,6 m
le proiezioni dei cateti sono le altezze dei coni, rispettivamente:
H₁=6,4m e H₂=3,6 m
Allora per il cono 1 si ha:
R=k=4,8m e H₁=6,4m
calcoliamo il volume:
V₁=πR²H₁/3=π(4,8 )²×6,4/3=π×23,04×6,4/3=147,456π/3=49,152π m­³
per il cono 2 si ha:
R=k=4,8m e H₂=3,6m
calcoliamo il volume:
V₂=πR²H₂/3=π(4,8 )²×3,6/3=π×23,04×3,6/3=82,944π/3=27,648π m­³
Calcoliamo il volume totale del secondo solido:
V'=V₁+V₂=49,152π+27,648π=76,8π m³


Ora calcoliamo il rapporto tra i volumi:
V/V' =96π /76,8π =1,25 =5/4

Pertanto il rapporto tra i volumi dei due solidi è 5/4


spero di esserti stato di aiuto.
se hai bisogno chiedi pure.
saluti :-)